2020暑期牛客多校训练营第七场（H）Dividing（整数分块）

Dividing

原题请看这里

题目描述：

以下规则定义了一种整数元组-传奇元组：

• $(1，k)$始终是传奇元组，其中k是整数。
• 如果$(n，k)$是传奇元组，则$(n+k，k)$也是传奇元组。
• 如果$(n，k)$是传奇元组，$(nk，k)$也是传奇元组。

我们想知道传奇元组$(n，k)$的数量，其中$1\le n\le N，1\le k\le K$
为了避免计算巨大的整数，请输出答案取余$10^9+7$的值。

输入描述：

输入包含两个整数$N$和$K$，$1\le N，K\le 10^{12}$

输出描述：

输出答案取模$10^9+7$

样例：

样例输入1：

3 3

样例输出1：

8

样例输入2：

3 9

样例输出2：

14

思路：

我们观察题目意思可以发现，只有当$n=1$或n是$k$的倍数或$n-1$是$k$的倍数时，$(n，k)$是传奇元组。
所以，我们只要对于每一个确定的传奇元组$(n,k)$，当且仅当$n$可以减$k$或$/k$，最后变成1，于是我们得到了以下两种操作：

• 如果$n$是$k$的倍数，即$n=xk$，那么就可以减掉$(x-1)$个$k$，将$n$变为$k$，再$/k$变为$1$.
• 如果$n-1$是$k$的倍数，$n=xk+1$，那么就减掉$x$个$k$。

因为$x$和$k$中总有一个数小于$1e6$，所以另一个数可以直接通过计算获取。

$AC$ $Code$:

#include
#define ll long long
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
ll n,k,ans;
void f(ll n){
    for(ll i=2,j;i<=n&&i<=k;i=j+1){
        j=min(n/(n/i),k);
        ans=(ans+(j-i+1)%mod*(n/i)%mod)%mod;
    }
}int main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    f(n);
    f(n-1);
    printf("%lld\n",(ans+n+k-1)%mod);
}