CT图像重建技术

 由于csdn贴图不方便，并且不能上传附件，我把原文上传到了资源空间CT图像重建技术

1.引言

计算机层析成像(Computed Tomography，CT)是通过对物体进行不同角度的射线投影测量而获取物体横截面信息的成像技术，涉及到放射物理学、数学、计算机学、图形图像学和机械学等多个学科领域。CT技术不但给诊断医学带来革命性的影响．还成功地应用于无损检测、产品反求和材料组织分析等工业领域。CT技术的核心是由投影重建图像的理论，其实质是由扫描所得到的投影数据反求出成像平面上每个点的衰减系数值。图像重建的算法有很多，本文根据CT扫描机的发展对不同时期CT所采用重建算法分别进行介绍。

2. 平行束投影重建算法

第一代和第二代CT机获取一个单独投影的采样数据是从一组平行射线获取的，这种采样类型叫平行投影。平行投影重建算法一般分为直接法与间接法两大类。直接法是直接计算线性方程系数的方法，如矩阵法、迭代法等。间接法是先计算投影的傅立叶变换，再导出吸收系数的方法，如反投影法、二维傅立叶重建法和滤波反投影法等[1]。

 

2.1 直接法

2.1.1 矩阵法

设一个物体的内部吸收系数矩阵为：

 (1)

为了求得该矩阵中的元素值，我们可以先计算该矩阵在T个角度下的T组投影值,如设水平方向时,则：

      (2)

同样其它角度下也有类似方程，把所有方程联立得到求解，即可求得所有u值。

通常情况下，由于联立方程组的数目往往不同于未知数个数，且可能有不少重复的方程，这样形成的不是方阵，所以一般不满秩，此时需要利用广义逆矩阵法进行求解。

2.1.2 迭代法

实际应用中，由于图像尺寸较大，联立的方程个数较多，采用直接采用解析法难度较大，因此提出了迭代重建方法。迭代法的主要思想是：从一个假设的初始图像出发，采用迭代的方法，将根据人为设定并经理论计算得到的投影值同实验测得的投影值比较，不断进行逼近，按照某种最优化准则寻找最优解[2]。

通常有两种迭代公式，一种是加法迭代公式[2]：

 （3）

另一种是乘法迭代公式[2]：

    (4)

两式中 是相邻两次迭代的结果；是某一角度的实测投影值，是计算过程的计算投影值,是投影的某一射线穿过 点的点数，即计算投影值的射线所经过的像素的数目，是松弛因子。

用乘法迭代可能收敛快些，但用得少些，因计算机加法运算的速度比乘法运算速度快。  

当迭代公式采用（3）式时，就是通常所说的代数重建技术（Algebraic reconstruction technique，ART），通常使用的还有其它几种迭代方法，如同步迭代技术(Simultaneous iterative reconstruction technique,SIRT)[3]，该方法主要是为了使重建图像对噪声不敏感，它是与ART并行的一种迭代重建算法，与ART不同的地方在于SIRT算法每次迭代对每个像素的校正值,不是只与一条投影数据有关,而是通过该像素的所有投影数据的误差值的累加,这是SIRT算法能有效地抑制测量数据中噪声的根本原因，该算法的另一优点在于算法总是收敛的，但是它的收敛速度比较慢，并且SIRT算法重建后的图像还存在一定程度的模糊效应。共轭梯度重建(Conjugate Gradient Method ,CGM)[3]实际上就是利用共轭梯度法求解上述方程，即在用迭代法求解方程过程中每次都用共轭向量作为搜索方向，从而快速逼近方程的最优解。该方法不需要预先估计任何参数，并且每次迭代所需的计算，主要是向量之间的运算，便于并行化。另外，相关的的迭代重建算法有：基于最小二乘法的重建方法[3]，极大似然估计法[3]等。

2.1.3 两种方法优缺点比较

矩阵法是利用线性代数理论来求解吸收系数矩阵，方法比较直观，而且其求解速度通常要比迭代法要快，但是它最大问题就是适用性差，尤其当图像尺寸较大时，求解过程变得异常困难。迭代法很好地解决了矩阵法所面临的问题，并且这种方法还有一个优点就是能很容易地把与空间几何相关的、与测量值条件相关的各种校正因子添加到计算过程中。

 

2.2 间接法

2.2.1反投影法

经典断层成像中认为，底片上一点的像A全部由该点密度所贡献，而这些贡献与像的值成正比，因此A点的像的值就可认为是该点密度f的量度。因此反投影算法利用相同的思想，它的基本思想是：断层平面中某一点的密度值可看作这一平面内所有经过该点的射线投影之和的平均值[4]。利用（1）（2）式中所作假设，算法可描述如下：

     （5）

式中，是指在某个角度下经过像素点的射线得到的投影值，T为投影角度的个数

反投影算法是一种比较简单，且易于理解的算法，但由于反投影法是把从各个方向上得到的投影看作为这个方向上的象素具有同等贡献，邻近结构对反投影图像中所有点的密度都要产生影响，包括原先像素值为零的点，因此会产生星状伪迹。

 

2.2.2二维傅里叶重建算法

二维傅里叶重建的基本思想是：一个二维图像的一维投影的傅立叶变换精确地等于过该图像的傅立叶变换中心的直线。当旋转投影角度时，其傅立叶变换的过中心的直线随之旋转[4]。其具体证明如下：

设f(x,y)表示需要重建的图像，用p(t,θ)表示在角度获取的f(x,y)的一个平行投影，t表示投影射线到对称中心（即旋转中心）的距离，设s为于角度θ下的投影X射线平行的坐标轴，它与t所在的坐标轴垂直，则：

          (6)

对p(t,θ)进行一维傅里叶变换

    (7)

将（6）代入（7）式得到

  (8)

由于图像坐标系xoy和投影坐标系tos之间存在以下关系：

t =  x cosθ+y sinθ     (9)

s = ycosθ - xsinθ    (10)

 

将（9）（10）式代入（8）得到

         （11）

图像f(x,y)的二维傅里叶变换为F(u,v)

               (12)

令u = w cosθ, v = w sinθ,则

F(wcosθ,wsinθ)=P(w,θ)               (13)

u = w cosθ, v = w sinθ即定义了一条通过原点与u轴成θ角的直线。

如果在0到之间采集足够多的投影，既可以填满重建图像的傅里叶空间，在通过反傅里叶变换就可以恢复原来图像。

尽管二维傅里叶重建方法为CT成像重建提供了一个直接方案，但是在真正的实现过程中还存在一些难题，首先，离散情况下，所获得的数据为极坐标形式的离散值，为了执行二维傅里叶反变换，必须将极坐标形式的数据内插成直角坐标系形式的数据，但是频域空间的插值对图像质量的影响非常大，因此需要开发出高级的插值算法。另一方面，二维傅里叶重建法不适用于局部目标进行重建。

 

2.2.3滤波反投影重建算法

2.2.3.1滤波反投影的原理

滤波反投影实际上是在反投影的基础上先进行卷积运算。采用滤波反投影重建图像的具体过程是，先把由检测器上获得的原始数据与一个滤波函数进行卷积运算，得到各方向卷积的投影函数；然后再把它们从各方向进行反投影，即按其原路径平均分配到每一矩阵元上，进行叠加后得到每一矩阵元的CT值；再经过适当处理后就可以得到被扫描物体的断层图像，卷积反投影可消除单纯的反投影产生的边缘失锐效应，补偿投影中的高频成分和降低投影中心密度，并保证重建图像边缘清晰和内部分布均匀[5]。

算法的具体原理如下：

由傅里叶变换知，图像函数f（x,y)可以通过其傅里叶反变换F(u,v)中恢复，即

           (14)

令 u = w cosθ, v = w sinθ，并根据(13)式

       (15)

利用对称关系P(w,θ+ π) = P(-w,θ),(14)式变为

     (16)

如果令             (17)

则(16)式重写为

              (18)

上述(17)(18)就是滤波反投影的主要公式，(17)中的|w|表示滤波函数。

2.2.3.2滤波器的设计

在滤波反投影重建算法中，滤波函数的设计是关键。理想的滤波器是频带无限的V型滤波函数，在无穷积分区间上的积分发散，根据佩利一维纳准则 ，这一理想滤波器是不可实现的。但是如果结合具体的成像过程,则不但能够实现，而且可以达到足够的精度。为此，需要对理想滤波函数进行加窗处理，即只保留滤波函数的低频段。常用滤波器如下几种

Ramp-Lak滤波器，它实际上是直接截断V型滤波器高频部分的结果，该滤波函数的特点是形式简单．重建的图像轮廓清楚。缺点是由于在频域中用矩形窗函数截断了滤波函数，在相应的空域中会造成振荡响应．即Gibbs现象[5]。

把Ramp-Lak滤波器与sin(x)/x进行卷积，就得到Shepp-Logan滤波器。用Shepp-Logan滤波器重建的图像中振荡相应较小，对含噪声的数据重建出来的图像质量也较Ramp-Lak滤波函数要好。但是由于该滤波函数在高频段偏离了理想的滤波函数|w|，因而重建图像在高频段的响应不如R-L滤波函数[5]。

其它常用滤波器还有Hamming滤波器，它是通过Ramp-Lak滤波器与Hamming窗进行卷积而得到。Hanning滤波器，它实际上是Ramp-Lak滤波器与Hanning窗进行卷积。

 

2.3 直接法和间接法的比较

直接法适合于不完全投影数据的图像重建，重建质量好。尤其是在投影数据较少时，重建图像的密度分辨率高，也能保证较好的空间分辨率；其次，重建算法简单，适用于不同格式的采样数据重建；另外还可以结合一些先验知识进行求解。但是直接法中迭代法的计算量大，重建时间长，因此限制其在医学领域的应用。

间接法缺点是对投影数据的完备性要求较高，从数学上讲，只有获得被检物体的完全投影数据后才能精确重建其切片图像，但是其重建速度较快，尤其是滤波反投影很容易用软件和硬件实现，而且在数据质量高的情况下可以重建出比较准确清晰的图像，在平行投影时导出的滤波反投影公式可以用不同的方法修改以适应于扇形扫描投影的情况[6]，由于它具有以上特点，因此广泛应用于医学领域。在后面的实验中将对上述两种重建方法进行比较。

 

3.扇形束CT的重建

由于平行束CT装置扫描时间太长，因此这样的扫描方式只能用来进行断层扫描，不能用来观察动态脏器，而且速度太慢，限制了医学应用，为了提高扫描数据采集的速度而从第三代以后的CT改用扇束扫描[4]。

扇形束CT投影如图1所示，其中S代表光源，代表扇束的中间射线SO与y轴的夹角，表示扇束内任意与中间射线的夹角，D表示光源到原点O的距离。扇形束重建公式如下：

    （19）

 其中      tm对应平行投影中投影射线到即旋转中心的距离

为扇束投影

 

   

 

 

  

                                                               图1 扇形束CT投影

 

4.螺旋CT的重建

4.1 螺旋CT介绍

螺旋CT（Spiral CT ,SCT）是指X线球管及探测器在不间断扫描和数据采集期间，扫描床持续同步前移CT装置，其X线扫描轨迹为一螺旋形曲线，可以一次收集到扫描范围内全部容积的数据，故又称螺旋容积扫描[7]。

SCT是CT技术的重大革新，它有许多超越常规CT的优点：SCT扩展了传统CT的能力，使之能够在一次屏气周期内扫描整个器官。另外，SCT采集的是容积数据（三维信息）可内描重建任意数量的重叠图像，然后按临床需要进行多平面或三维重建、图像清晰、直观，重建图像质量大大提高。

4.2 螺旋CT重建算法

由于螺旋CT在扫描的同时，扫描床的等速移动导致每一周扫描的起点和终点不在同一平面因此在图像重建前必须对原始数据相邻点内用线性内插法进行校正。下面介绍两种重建算法

4.2.1 基于360度插值的重建算法[7]

该方法的基本思想是：利用螺旋扫描方式进行扫描，然后利用所得到的角度的数据来模拟平面的扫描数据，然后利用扇形束的重建方法进行重建，插值后的投影数据的具体公式是

 （20）

式中，x表示到重建平面的距离，d表示随机架旋转360度病床移动的距离。

这种方法的优点是简单容易，然而它的不足时切片方向灵敏度曲线明显下降。

4.2.2 扇形束螺旋CT重建算法[4]

这种方法是利用反投影的过程，通过在滤波反投影之前对投影乘以权值完成投影插值，因此该算法的具体公式如下：

 （21）

式中，D是X射线源到中心的距离，L是X射线源到重建点的距离，是探测器角度，是视角，是螺旋数据集的起始角度，是数据集的角度跨度，是扇形束投影，是滤波函数，是加权函数，

该方法的优点是计算效率高，对空间分辨率的影响小。

 

5. 多层螺旋CT重建算法

5.1 多层螺旋CT介绍

多层螺旋CT是继螺旋CT后的又一次重大技术性突破，多层螺旋CT与以往单层螺旋CT相比较， 其特点在于它在探测器结构和数据处理系统两方面作了根本性的改进，多排探测器阵列可谓多层螺旋CT的心脏。多层螺旋CT中将单排探测器（900个左右的探测器单位）改进为几排甚至几十排探测器，即多层螺旋CT在Z轴方向上有数万个探测器呈二维阵列，目前的设计为8-34排。

多层螺旋CT能将常规CT的三个相互制约的因素，即分辨率(薄层厚)、覆盖面和速度有机地结合起来，可根据临床需要，通过探测器阵列下方的电子开关启动中心小部分或较大部分或全部探测器，从而可获得探测器的不同组合，形成不同层厚的扫描，达到高分辨、高速或广覆盖的不同要求。与普通CT相比，多层螺旋CT有许多优点：扫描速度快，最多可将时间缩短为1/6-1/8、病人被X线损伤小、照射量减少了15%-40%、空间分辨率高、采集信息量大、降低了造影剂用量等[4]。

5.2 多层螺旋CT重建算法

最大程度地降低甚至消除投影数据的不相容性，是螺旋CT图像重建中要解决的关键问题，也是各类算法的核心。一般的处理方法是对原始投影数据进行加权(插值)。根据不同的加权方案，可将多层螺旋CT重建算法分成两大类:(l)Full-scan类算法。(2)Half-scam类算法。前者经加权处理后获得成像断层平面在范围内的扇束投影数据。后者将原始数据重排组合消除冗余后加权得到的是范围内的投影数据[7]。两种算法有如下共同特征：

（1）成像断层平面POR垂直Z轴且位于插值区间[PL,PU]的中心。

（2）通常采用线性插值，插值节点、投影数据集合分布于的两侧。

（3）一般较理想的加权函数应具有对称性和连续性的特点。

6. 实验及分析 

本文对ART和滤波反投影算法进行仿真模拟，实验图像采用Shepp-Logan头部模型图。图像尺寸为128*128，256级灰度， 实验结果如下：

图2 平行投影下重建图像，左图为原图，中间为ART重建后

的图像，右图为滤波反投影重建的图像（滤波器为Shepp-Logan）

图3 差分图像（即重构图像减去原图像后的图像）对比

左边是ART重建后的差分图像，右边是滤波反投影重建后的差分图像

 

由实验结果，尤其是差分图像从差分图像上可以看出ART重构图像中噪声相对而要较少，滤波反投影重建后的图像中边缘与原图像差距较大，原因是因为Shepp-Logan滤波器对高频部分进行了抑制。

实验中ART重建图像所用时间为1612s，而滤波反投影重建所需时间为11s，ART重建的时间将近是滤波反投影的150倍。

 

7.总结

本文介绍了CT影像重建的基本模型和原理，并较全面的的对常用的CT影像重建技术进行了对比分析，最后通过一个实验对平行束投影重建算法中的ART和滤波反投影算法进行了模拟，并对实验结果进行了分析。随着医学的发展，生活水平的提高，如何利用CT更快地重建出质量更好的图像，是当前最主要的任务之一，因此本文除了对CT成像算法进行分析，计算机模拟外，其最大的作用也是为以后的学者做一个铺垫，共同研究在该领域有待研究的技术和理论上的难题。

 

参考文献

[1]  章毓晋. 图像处理和分析教程.人民邮电出版社，2009,11.

[2]  张顺利.ART算法几种重建模型的研究和比较.航空计算技术，第35卷第2期，2005，6.

[3]  高欣. 新型迭代图像重建算法的研究与实现. 博士论文.2004.

[4]  Jiang Hsieh. 计算机断层成像技术原理、设计、伪像和进展. 科学出版社,2006,2.

[5]  张顺利,李卫斌,唐高峰.滤波反投影图像重建算法研究.咸阳师范学院学报,第23卷第4期,2008,7.

[6]  张朋，张兆田. 几种CT图像重建算法的比较.第九届中国视体学与图像分析学术会议，2001.

[7]  刘冲.多层螺旋CT扫描图像重建算法的研究.硕士论文，2006，2.

由于csdn贴图不方便，并且不能上传附件，我把原文上传到了资源空间CT图像重建技术