矩阵的奇异值分解(SVD)及PCA应用

本篇文章参考了李航老师的《统计学习方法》第二版。，同时参考了机器学习中的数学(5)-强大的矩阵奇异值分解(SVD)及其应用
矩阵的奇异值分解是将一个矩阵分解成多个小矩阵的乘积，在PCA（principal component analysis，主成分分析）和LSA（latent semantic analysis，潜在语义分析）中都有应用，在此把矩阵的分解过程记录下来，证明过程先略过。

矩阵的SVD分解

首先看一下定义，给定非0的m$\times$n实矩阵A，它可以表示成以下三个实矩阵乘积形式的运算。
$$A=UD{V}^T$$

其中$U$是$m$阶正交矩阵，$V$是$n$阶正交矩阵。$D$是由降序排列的非负的对角线元素组成的$m\times n$对角矩阵。满足如下关系
$$U{U}^T=I$$

$$V{V}^T=I$$

$$D=diag({\sigma }_1,{\sigma }_2,...,{\sigma }_p)$$

$${\sigma }_1\ge {\sigma }_2\ge ...\ge {\sigma }_p\ge 0$$

$$p=min(m,n)$$

计算过程

（1）首先求出$A{A}^T$的特征值和特征向量
计算对称矩阵$W=A^{T}A$。
求解特征方程$(W-\lambda I)x=0$，得到特征值${\lambda }_i$并将特征值由大到小排列得到
$${\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge ...\ge {\lambda }_n\ge 0$$

将特征值代入特征方程求得对应的特征向量。
（2）求$n$阶正交矩阵$V$
将特征向量单位化，得到单位特征向量$v_1,v_2,...,v_n$，构成$n$阶正交矩阵$V$
$$V=[v_1{v}_2...v_n]$$
（3）求$m\times n$对角矩阵$D$
计算$A$的奇异值
$${\sigma }_i=\sqrt{{\lambda }_i},i=1,2,...,n$$
构造$m\times n$矩形对角矩阵$D$，主对角线元素是奇异值，其余元素是0。
$$D=diag({\sigma }_1,{\sigma }_2,...,{\sigma }_n)$$
（4）求$m$阶正交矩阵$U$
对$A$的前$r$个正奇异值，令
$$u_j=\frac{1}{{\sigma }_j}A{v}_j$$

得到

$$U_1=[u_1{u}_2...u_r]$$

求$A^T$的零空间的一组标准正交基$\{u_{r+1},u_{r+2},...,u_m\}$，令

$$U_2=[u_{r+1}{u}_{r+2}...u_m]$$

并令 $U=[U_1{U}_2]$
（5）得到$A$的奇异值分解

$$A=UD{V}^T$$

举例计算

上面的基本步骤，下面来看一个具体的例子。
求矩阵$A$的奇异值分解。
$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 2\\ 0& 0\end{array}\right]$$
（1）求矩阵$A^{T}A$的特征值和特征向量

$$A^{T}A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 1& 2& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 2\\ 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}5& 5\\ 5& 5\end{array}\right]$$

特征值$\lambda$和特征向量$x$满足特征方程

$$(A^{T}A-\lambda I)x=0$$

得到齐次线性方程组

$$\{\begin{array}{l}(5-\lambda )x_1+5x_2=0\\ 5x_1+(5-\lambda )x_2=0\end{array}$$

该方程组有非零解的充要条件是
$$\left|\begin{array}{cc}5-\lambda & 5\\ 5& 5-\lambda \end{array}\right|=0$$

即${\lambda }^2-10\lambda =0$，解此方程，会得到矩阵$A^{T}A$的特征值${\lambda }_1=10$和${\lambda }_2=0$。
将特征值${\lambda }_1=10$代入线性方程组，得到对应的单位特征向量

$$v_1=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]$$

同样得到特征值${\lambda }_2=0$对应的单位特征向量

$$v_2=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]$$

（2）求正交矩阵$V$

$$V=[v_1{v}_2]=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]$$

（3）求对角矩阵
奇异值为${\sigma }_1=\sqrt{{\lambda }_1}=\sqrt{10}$和${\sigma }_2=0$，构造对角矩阵

$$D=\left[\begin{array}{cc}\sqrt{10}& 0\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$$
注意要到$D$中加上行向量0，使得三个矩阵可以进行相乘。
（4）求正交矩阵$U$
基于$A$的正奇异值${\sigma }_1$计算得到列向量$u_1$
$$u_1=\frac{1}{{\sigma }_1}A{v}_1=\frac{1}{\sqrt{10}}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 2\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{5}}\\ \frac{2}{\sqrt{5}}\\ 0\end{array}\right]$$

列向量$u_2,u_3$是$A^T$的零空间的一组标准正交基。为此，求解以下线性方程组

$$A^{T}x=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 1& 2& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$$

即$x_1+2x_2+0x_3=0$，分别取$(x_2,x_3)$为（1,0）和（0,1），得到一组正交基$(-2,1,0{)}^T,(0,0,1{)}^T$。化成标准正交基之后
$$u_2=(-\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}},0),u_3=(0,0,1{)}^T$$

构造正交矩阵$U$

$$U=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{5}}& -\frac{2}{\sqrt{5}}& 0\\ \frac{2}{\sqrt{5}}& \frac{1}{\sqrt{5}}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
（5）矩阵$A$的奇异值分解
$$A=UD{V}^T=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{5}}& -\frac{2}{\sqrt{5}}& 0\\ \frac{2}{\sqrt{5}}& \frac{1}{\sqrt{5}}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\sqrt{10}& 0\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]$$
再来看一段简单的程序，是不是和得到的结果一致。

import numpy as np
A = [[1,1],[2,2],[0,0]]
u,d,v = np.linalg.svd(A)

结果可以看作是一致的，因为奇异值分解的值并不唯一。

SVD的意义

根据机器学习中的数学(5)-强大的矩阵奇异值分解(SVD)及其应用这篇文章的观点，在很多情况下，前10%甚至前1%的奇异值的和就占了全部奇异值之和的99%以上，也就是说，我们可以用前r大的奇异值来近似描述矩阵，采用截断奇异值分解的话，三个小矩阵的维度可以大大的降低。来看个例子。
$$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 4\\ 0& 3& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 2& 0& 0& 0\end{array}\right]$$
矩阵的秩为3，奇异值应该有3个，如果我们只取前两个奇异值，计算可以得到前两个奇异值为${\sigma }_1=4,{\sigma }_2=3$，为了和奇异值相匹配，$U$和$V$也需要做截断，并且计算出其左奇异向量$U$和右奇异向量$V$
$$U=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& 3\end{array}\right],V=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\\ 1& 0\end{array}\right]$$
利用截断的奇异值和奇异向量计算出$A$的近似值
$$A=UD{V}^T=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 4\\ 0& 3& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$
这可以看成是对原矩阵的近似，不过是在弗罗贝尼乌斯范数（Frobenius）下的近似，即
$$||A|{|}_F=(\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n(a_{ij}^2){)}^{\frac{1}{2}}\approx ||A|{|}_F$$

在PCA中的应用

PCA的主要思想是将高维度空间的特征转化成低维度的新特征，在减轻后续算法计算量的同时仍能使算法保持较高的精度，主要用于数据的预处理过程。在此省略掉其计算过程，看一个比较直观的例子，只描述和奇异值分解相关的，本示例来自于李航老师的《统计学习方法》第二版。
例：假设有n个同学参加四门课程的考试，将学生们的考试成绩看作随机变量的取值，对考试成绩进行标准化处理，得到样本的相关矩阵$R$，如下表。

课程	语文	外语	数学	物理
语文	1	0.44	0.29	0.33
外语	0.44	1	0.35	0.32
数学	0.29	0.35	1	0.60
物理	0.33	0.32	0.60	1

设变量$x_1,x_2,x_3,x_4$分别表示语文、外语、数学、物理的成绩。对样本相关矩阵进行特征值分解，得到相关矩阵的特征值，并按大小排序，
$${\lambda }_1=2.17,{\lambda }_2=0.87,{\lambda }_3=0.57,{\lambda }_4=0.39$$

这些特征值就是各主成分的方差贡献率，假设要求主成分的累计方差贡献率大于75%，那么只需取前两个主成分即可，即k=2，求出对应于特征值${\lambda }_1,{\lambda }_2$的单位特征向量，列于下表。

项目	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	方差贡献率
$y_1$	0.460	0.476	0.523	0.537	0.543
$y_2$	0.574	0.486	-0.476	-0.456	0.218

按照上表可以得到第一、第二主成分：
$$y_1=0.460x_1+0.476x_2+0.523x_3+0.537x_4$$

$$y_2=0.574x_1+0.486x_2-0.476x_3-0.456x_4$$

第一主成分的实际意义在于各门成绩提高都可以使$y_1$成绩提高，也就是第一主成分反映了学生的整体成绩，第二主成分表明文科成绩提高可以使$y_2$提高，理科成绩提高可以使$y_2$降低，第二主成分反映了学生的文科成绩和理科成绩的关系。这就可以将4维的特征降为2维。