球谐函数与光照估计

最近用到球谐函数(Spherical Harmonics)，这是一种非常优雅的光照模型。

关于球谐函数，具体的数学推导可以在维基百科上查到：

https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_harmonics

我主要介绍一下球谐函数在光照估计中的应用。

球谐函数

光照估计就是从图片中获取光照信息，从而降低光照对纹理的影响。传统的光照估计依赖于光源方向和法线方向的估计，而光源方向和法线方向都是一种“估计”，本身就是不够精确的。使用不够精确的参数去估计目标值，就需要使用到一些高级的估计算法，这些算法一般都依赖于对象的统计特征。这样的光照模型过于复杂，其中的每一个过程都会影响最终的结果。

在2001年，Basri和Jacobs证明了曲面上的像素值可以使用9维的球谐基函数进行线性表示，这种光照模型只需要估计球谐基函数前面的权值，不需要光源的方向，大大简化了光照的估计。点p处的像素值等于p处的albedo乘以球谐基函数的线性组合，用数学公式表示一下就是：

I(p)=∑j=19ρ(p)ljhj(p)

ρ(p) 表示p处的albedo, lj 表示球谐基函数的系数， hj 表示9个球谐基函数。使用 nx,ny,nz 表示法线方向，这9个基分别为：

h1=14π−−√,h2=34π−−−√nz,h3=34π−−−√nx

h4=14π−−√ny,h5=1254π−−−√(3n2z−1),h6=3512π−−−−√nxnz

h7=3512π−−−−√nynz,h8=32512π−−−−√(n2x−n2y),h9=3512π−−−−√nxny

从式子中可以看到球谐函数基还是依赖于法线的方向的。Albedo的原意是反照率，我们可以看成是去除光照和阴影以后的纹理，在游戏图形工程上，更接近于基色的概念。

光照估计

对于一个有n个像素值的图片，n个像素对应着n个线性方程组，光照的估计就变成了n个方程求解n+9个未知数的问题，n+9表示n个albedo值和9个光照系数。一般的方法是使用最小二乘法进行估计。

• 初始化albedo估计

  albedo的初始值 ρ0 可以使用图片像素平均值来估计。

• 初始化光照参数

  有了 ρ0 ，就可以带入到 I=ρ0HL 中，使用最小二乘法获得初始的光照系数 L0 。

• 更新albedo

  使用上一步中得到的 L 值，可以根据式子 I=ρHL0 直接解得新的 ρ 。

• 更新光照系数

  再次使用最小二乘法估计光照系数 L 。重复估计albedo和L，直到满足要求，一般5次就足够了。

总结

球谐函数对光照的建模非常的简洁，整张图片使用相同的光照系数，免去了对光源参数的估计。模型比较简单，求解的步骤也比较简洁，使用最小二乘法不断迭代求解。