关于斯托克斯公式的思考

关于斯托克斯公式的思考

@(微积分)

对于空间闭曲线的积分，我们知道这也是第一型曲线积分，通过斯托克斯公式可以化为二重积分。

但是斯托克斯公式总共有两种形式：

一中是dydz, dxdz, dxdy型，另一种是cosα,cosβ,cosγ型。

首先需要看到空间曲线围成的不是曲面，而是一个平面。这是很特殊的。因此，这样的平面如果投影到三个坐标平面去求三个二重积分，有时比较复杂一些。这个时候如果化为cosα,cosβ,cosγ型可能就简单一些。也要具体问题具体分析。

给定一个平面方程，很容易写出

cosα,cosβ,cosγ,Ax+By+Cz+D=0

法向量是：n→=(A,B,C)

而,
cosα=AA2+B2+C2
cosβ=BA2+B2+C2
cosγ=CA2+B2+C2

即方向余弦用的是单位值。

此时化成的是一个第一型曲面积分，再次，空间曲线围成的是平面，只需要补偿系数即可投影到坐标平面。

比如往xoy平面投影，则系数是1+z′2x+z′2y‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√

有时是缺项的，比如y+z = 0,要清楚还是平面，只不过是更加特殊的。z′x=0,z′y=−1

明白这些，问题就没有什么难度了，剩下的就是二重积分计算。