【图像处理笔记】空间滤波基础

空间滤波是一种采用滤波处理的图像增强方法。其理论基础是空间卷积和空间相关。目的是改善图像质量。

空间滤波的模板被称为空间滤波器。

滤波一词借用于频域处理。本意是指信号有各种频率的成分，滤掉不想要的成分，即为滤掉常说的噪声，留下想要的成分，这既是滤波的过程，也是滤波的目的。

线性空间滤波与频域滤波之间存在着一一对应的关系。空间滤波可以提供相当多的功能，还可以用于非线性滤波，而这在频域中是做不到的。

空间滤波机理

在图像中的任意一点（x，y），滤波器的响应g（x，y）是滤波器系数与该滤波器包围的图像像素的乘积之和。

一般来说，用大小为m * n的滤波器对大小为M * N的图像进行线性空间滤波，可由下式表示：

w是滤波器的系数，f是像素值。对于m * n的模板，我们假设m = 2a + 1，n = 2b + 1，a，b为正整数。

空间相关与卷积

执行线性空间滤波时，必须要先清楚的理解两个概念。相关和卷积。

相关是滤波器模板移过图像并计算每个位置乘积之和的处理。

卷积的处理过程类似，但滤波器首先要旋转180°。

eg。以下的例子解释了相关与卷积的处理过程。

有几点需要注意：

第一，相关是滤波器位移的函数。

第二，滤波器w与只包含一个1其余全是0的函数相关，得到的结果是旋转了180°的滤波器w。

我们将只包含一个1其余全是0的函数称为 离散单位冲激。

因此，我们可以得出一个结论：一个函数与离散单位冲激相关，在该冲激位置产生这个函数的一个翻转的版本。

卷积的概念是线性系统理论的基石。

卷积的基本特征是，某个函数与某个单位冲激卷积，得到的是在该冲激处的这个函数的拷贝。

前面的概念很容易扩展到图像上。对于大小是m * n的滤波器，我们在图像的顶部和底部需要填充m - 1行0，在左侧和右侧填充n - 1列0.

eg。假设滤波器的大小为3 * 3。

如果图像f包含一个与w完全相等的区域在图像的中心，当w位于f区域的中心时，相关函数（归一化后）的值将是最大的。如此看来，相关还可以用于寻找图像中的匹配。

下面我们通过公式来总结一下前面的讨论。

一个大小为m * n的滤波器w（x，y）与一幅图像f（x，y）做相关操作，可表示为

类似地，，w（x，y）和f（x，y）的卷积表示为

其中等式右侧的减号表示翻转f（即旋转180°）。为简化符号表示，我们遵循惯例，翻转移位w而不是f。结果是一样的。

使用相关或卷积执行空间滤波时优先选择的方法。事实上，无论是卷积还是相关，我们都可以通过简单的平移滤波器去执行其功能，重要的是在给定的滤波任务中，按对应于期望操作的方式来指定滤波器模板。

还有一点需要注意的是，在图像处理文献中，我们很可能会遇到卷积滤波器、卷积模板或卷积核这些术语。按照惯例，这些术语用来表示一种空间滤波器，并且滤波器未必用于真正的卷积。类似地，模板与图像卷积通常用于表示我们之前讨论得滑动乘积求和处理，而不必区分相关与卷积的差别。更合适的是，它通常用于表示两种操作之一。这一不太严密的术语是产生混淆的根源。

线性滤波的向量表示

当我们的兴趣在于相关或卷积的模板的响应特征R时，有时写成乘积的求和形式是方便的：

其中w项是一个大小为m * n的滤波器系数，z为由滤波器覆盖的相应图像的灰度值。