马的Hamilton周游问题，O(N)解决，N表棋盘规模

    马的周游这个问题是搜索的经典问题，但是搜索的时间效率极低，并随着棋盘的扩大呈指数级增长，最终导致问题几万年不可解。如果题目放宽要求：

1、只需要求出周游的一条路线

2、棋盘的长和宽|L-W|<=2

有这两个条件就能使得问题复杂度简化，最终能在棋盘规模的复杂度下解决。

定义n*n的棋盘的每一个点为图G的顶点V，n*n的棋盘的每一个点和从这个起点一步可达的点的连线为图G的边E。这样图G有n*n个顶点和4n^2-12n+8条边。马的Hamilton周游问题即是图G的Hamilton回路问题。当棋盘点的个数n*n为奇数时，问题无解，因为如果此棋盘是国际象棋的棋盘，则每一次马步都是从白色跳到黑色或者黑色跳到白色，棋盘点为奇数不可能使最后一步跳回起点。

考察一类具有特殊结构的解，这类解在棋盘的4个角都包含两条特殊的边：

算法在计算过程中必须依赖一些事先计算好的少量数据，所以必须通过回溯用O(1)的时间内计算6*6，6*8，8*8，8*10，10*10，10*12的结构化棋盘。（因为这些棋盘的规模与N无关，可以事先计算好）

 

 

 

 

其中8*6的棋盘可以通过6*8的棋盘旋转得到，不影响结构化棋盘的性质。对于L，W>=12，可以采用分治策略。

分割棋盘：

将棋盘尽可能平均地分割成4块。当L,W=4k时，分割为2个2k；当m,n=4k+2时，分割为1个2k和1个2k+2。

合并棋盘：

 

4个子棋盘由于都是结构化棋盘，必定会有以下的马步出现。

 

其中A，B，C，D在不同的子棋盘上，通过变换，拆掉这几条边，换E，F，G，H这几条边：

 

 

 

这样就能把四个字棋盘合成一个大棋盘。

分执法计算L*W棋盘上的Hamilton回路所需计算时间为T(L,W)，则T(L,W)满足如下递归式：

T(L,W) = O(1)     L,W<12

T(L,W) = 4T(L/2,W/2) + O(1)

解此递归式可得T(L,W) = O(L*W) 为棋盘的规模。