理论知识：电感感应电压公式，纯电感正弦电路感应电压公式，纯电容正弦电路电流公式的推导

电感感应电压公式v(t)=L*di(t)/dt的推导

推导一：

衡量电感线圈充磁多少的单位是磁链——Ψ。电流越大，电感线圈被冲磁链就越多，即磁链与电流成正比，即Ψ=L*I。对一个指定电感线圈，L是常量。

因此，用L=Ψ/I表达电感线圈的电磁转换能力，称L为电感量。

电感量的微分表达式为：L=dΨ(t)/di(t)。推导：dΨ(t) = L * di(t)  公式一

根据电磁感应原理，磁链变化产生感应电压，磁链变化越大则感应电压越高，即v(t)=dΨ(t)/dt。公式二

综合上面两公式得到：v(t)=L*di(t)/dt，即电感的感应电压与电流的变化率（对时间的导数）成正比，电流变化越快则感应电压越高。

推导二：

法拉第电磁感应定律E=N*dΦ/dt;  公式一

在电感线圈里总磁通N*Φ=L*i;  =》  Φ = L*i/N  公式二

公式二代入公式一，所以得到

E=N*dΦ/dt

  = N*d（L*i/N）/dt

  = N*L/N*di/dt

  = L*di/dt;

推导三：(输入为正弦波的情况)

先是从法拉第电磁感应定律公式　e＝N*ΔΦ / Δt 出发，由于纯电感线圈通过正弦交流电时，电流产生的磁场的磁感应强度B与电流 i 成正比，且线圈所围面积已经确定（不变），所以穿过线圈的磁通量Φ就与B成正比，得变化量之间的关系有　ΔΦ∝ΔB∝Δi　，∝是成比例的符号。

因此，从　e＝N*ΔΦ / Δt 可推导出　e∝Δi / Δt ，即自感电动势与线圈中电流的变化率成正比，比例系数就是L，得　e＝L*（Δi / Δt），在时间 Δt 趋于0的情况下，就可写成　e＝L*( di / dt )。

纯电感正弦交流电路感应电压u =Um*sin(ωt + 90°)的推导：

推导：

电感感应电压公式u = L*di/dt; 将i = Im*sin(2*π*f*t)代入公式中，则：

u = L*di/dt

 = L*d｛Im*sin(2*π*f*t)｝/dt  将常量Im提到微分式外面，得：

 = L*Im*dsin(2*π*f*t)/dt      求导，sin(2*π*f*t)求导得到，2*π*f*cos(2*π*f*t)。得：

= L*Im*2*π*f*cos(2*π*f*t)   因为容抗XL = ω*L = 2*π*f*L ; 所以Um = XL*Im = L* Im *2*π*f ，代入式中，得：

= Um*cos(2*π*f*t)          根据三角函数公式：cos (a) = sin ( pi/2 + a ) = sin ( 90°+ a )，得：

= Um*sin(ωt + 90°)

所以，电感上电流落后感应电压90°相位，或者说感应电压超前电流90°相位。 直观理解：设想一个电感与电阻串联充磁。从充磁过程看，充磁电流的变化引起磁链的变化，而磁链的变化又产生感应电动势和感应电流。根据楞次定律，感应电流方向与充磁电流相反，延缓了充磁电流的变化，使得充磁电流相位落后于感应电压。

 

纯电容正弦交流电路电流公式i = Im*sin(ωt+ 90°)的推导：

推导：

电荷数与电势差（电压）成正比，即Q=C*V。对指定电容，C是常量。因此，用C=Q/V表达电容极板贮存电荷的能力，称C为电容量。

电容量的微分表达式为：C = dQ(t)/dv(t)。=》 dQ(t) = C* dv(t)  公式一

因为电流等于单位时间内电荷数的变化量，即i(t) = dQ(t)/d(t)，  公式二

把公式一代入公式二得到：i(t) = dQ(t)/d(t) = C*dv(t)/d(t)，       公式三

即电容电流与其上电压的变化率（对时间的导数）成正比，电压变化越快则电流越大。

i = C*dv/dt                       根据公式三

 = C*d{ Um*sin(ωt)}/dt            设v = Um*sin(ωt),并代入式中

 = C*Um*d sin(ωt)/dt              Um提出来

 = C*Um*ω* cos(ωt)               sin(ωt)求导得到ω* cos(ωt)       

 = Im* cos(ωt)                     因为容抗XC=1/(ω*C)，Im =Um/XC = Um*ω*C,

 = Im* sin(ωt+90°)                三角函数公式：cos(ωt) = sin(ωt+90°)