哈工大2019年春算法设计与分析期末复习

本文原载于我的博客，地址：https://blog.guoziyang.top/archives/22/

第二章 算法分析的数学基础

2.1 复杂性函数的阶

阶为复杂性函数的主导项。

如函数$T(n)=a{n}^2+bn+c$的主导项为$a{n}^2$，当输入的n较大时，低阶项相对意义不大，系数a的意义也不大，故称：函数$T(n)$的阶为$n^2$。

同阶函数：设$f(n)$和$g(n)$是正值函数，如果$\exists c_1,c_2>0,n_0,\forall n>n_0,c_{1}g(n)\le f(n)\le c_{2}g(n)$，则称$f(n)$与$g(n)$同阶，记作$f(n)=\theta (g(n))$。保证最高次项次数相同即可。

如果$f(n)=O(n^k)$，则称$f(n)$是多项式界限的。

低阶函数：设$f(n)$和$g(n)$是正值函数，如果$\exists c>0,n_0,\forall n>n_0,f(n)\le cg(n)$，则称$f(n)$比$g(n)$低阶或$g(n)$是$f(n)$的上界，记作$f(n)=O(g(n))$。$f(n)$比$g(n)$低阶，$g(n)$是$f(n)$的上界。

$O(g(n))$可以视为所有比$g(n)$低阶的函数的集合$\{f(n)|\exists c,n_0,\forall n>n_0,f(n)\le cg(n)\}$。

高阶函数：设$f(n)$和$g(n)$是正值函数，如果$\exists c>0,n_0,\forall n>n_0,f(n)\ge cg(n)$，则称$f(n)$比$g(n)$高阶或$g(n)$是$f(n)$的下界，记作$f(n)=\Omega (g(n))$。$f(n)$比$g(n)$高阶，$g(n)$是$f(n)$的下界。

$O(g(n))$可以视为所有比$g(n)$高阶的函数的集合$\{f(n)|\exists c,n_0,\forall n>n_0,f(n)\ge cg(n)\}$。

注意：$\theta$表示渐进紧界，$O$表示渐进上界，$\Omega$表示渐进下界。由于上界和下界可以不是紧的，于是$n=O(n)=O(n^2)=\dots$且$O(n)\in O(n^2)$，即比n低阶的函数必然比$n^2$低阶。

严格低阶函数：设$f(n)$和$g(n)$是正值函数，如果$\exists c>0,n_0,\forall n>n_0,f(n)<cg(n)$，则称$f(n)$比$g(n)$低阶或$g(n)$是$f(n)$的严格上界，记作$f(n)=o(g(n))$。

O标记可能是或者不是紧的，o标记用于肯定不是紧的标记，于是$2n^2=O(n^2)，2n=O(n^2)，2n=o(n^2)$，但是$2n^2\ne o(n^2)$。

严格高阶函数：与严格低阶函数类似。记为$f(n)=\omega (g(n))$。

显然，$f(n)\in \omega (g(n))$ iff $g(n)\in o(f(n))$。、

性质：所有的阶都具有传递性，非紧阶具有自反性，$\theta$具有对称性，$O$与$\Omega$具有反对称性，$o$与$\omega$具有反对称性。

2.2 递归方程

定义：使用具有小输入值的相同方程来描述一个方程，用自身来定义自身。

Master方法：可用于求解$T(n)=aT(\frac{n}{b})+f(n)$型的方程，其中$a\ge 1,b>1$是常数，$f(n)$为正函数。

1. 若$f(n)=O(n^{lo{g}_{b}a-ϵ})，ϵ>0$是常数，则$T(n)=\theta (n^{lo{g}_{b}a})$。
2. 若$f(n)=\theta (n^{lo{g}_{b}a})$，则$T(n)=\theta (n^{lo{g}_{b}a}lgn)$。
3. 若$f(n)=\Omega (n^{lo{g}_{b}a+ϵ})，ϵ>0$是常数，且对于所有充分大的n，$af(\frac{n}{b})\le cf(n)，c<1$是常数，则$T(n)=\theta (f(n))$。

该方法的较为直观的方法：将$f(n)$与$n^{lo{g}_{b}a}$比较：

1. 若$n^{lo{g}_{b}a}$大，则$T(n)=\theta (n^{lo{g}_{b}a})$。
2. 若$f(n)$大，则$T(n)=\theta (f(n))$。
3. 若$f(n)$与$n^{lo{g}_{b}a}$同阶，则$T(n)=\theta (n^{lo{g}_{b}a}lgn)=\theta (f(n)lgn)$。

扩展master定理：消除$f(n)$为正函数的要求。

第二条修正为：若$f(n)=\theta (n^{lo{g}_{b}a}lo{g}^{k}n)，k\ge 0$，则$T(n)=\theta (n^{lo{g}_{b}a}lo{g}^{k+1}n)$。

第三章 分治算法

3.1 分治算法的原理

三个阶段：Divide-Conquer-Combine

时间复杂度分析：

假设划分为$a$个子问题，每个子问题的大小为$\frac{n}{b}$，则划分时间为D(n)，Conquer时间为$aT(\frac{n}{b})$，Combine的时间为$C(n)$，最后得到递归方程
KaTeX parse error: No such environment: equation at position 8: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲}̲T(n)=\begin{cas…

举例：求最大值

时间复杂度分析：
$$\begin{gathered} T(n)=2T(n/2)+2 \\ =2(2T(n/2^2))+2=2^{2}T(n/2^2)+2^2+2 \\ =... \\ =2^{k-1}T(2)+2^{k-1}+2^{k-2}+...+2^2+2 \\ =2^{k-1}+2^k-2 \\ =\frac{3n}{2}-2 \end{gathered}$$
举例：整数乘法

计算n位二进制整数X和Y的乘积，通常的时间复杂度为O($n^2$)

3.3 基于分治的排序算法

3.3.1 QuickSort

Divide：使用partition算法生成一个q，并根据q将数据划分成两个部分。

Conquer：递归地使用QuickSort对两部分进行排序。

Combine：由于两部分已经有序，什么都不做

Partition算法：选择x作为划分点（通常是最后一个元素），并将x与其它元素逐一比较。以下选取4作为x，并使用i和j将小于4的归在左侧，大于4的归在右侧，并在最后将4添加至中间。

// 时间复杂度为O(n)
Partition(A, p, r)
{  
	x = A[r];
	i = p - 1;
	for j = p to r - 1
		do if A[j] <= x
			i = i + 1;
			exchange(A[i] A[j]);
	exchange(A[i + 1], A[r]);
	return i + 1;
}

QuickSort(A, p, r)
{
  if p < r 
  then q = Partition(A, p, r);
  	QuickSort(A, p, q - 1);
  	QuickSort(A, q + 1, r);
}  

使用循环不变量保证算法的正确性：循环开始、每一次循环体结束、以及算法结束后，都要保证循环不变量成立。

时间复杂度：partition算法复杂度为$\theta (n)$，所以QuickSort的时间复杂度为
$$T(n)=2T(n/2)+\theta (n)=\theta (nlogn)$$
最坏的情况为分割点恰好在数组开头或者结尾，这时的时间复杂度为$T(n)=T(0)+T(n-1)+\theta (n)=\theta (n^2)$

平均时间复杂度为$T(n)=O(nlogn)$

随机快速排序：

用于防止输入基本有序，则在选取主元时加入随机因素。

Partition算法改为Randomized-Partition：

Randomized-Partition(A, p, r)
{
	i = Random(p, r);
	A[r]与A[i]交换;
	Return Partition(A, p, r);
}

期望的时间复杂度为$O(nlogn)$

3.3.2 排序问题的下界

解决该问题的任意算法的最小时间复杂度，问题的下界是不唯一的，但是只有紧的下界是有意义的。

基于比较和交换的排序算法可以用一棵二叉决策树来描述：

则对于特定输入的排序过程，就是从根到叶子的一条路径。

n个元素有n!中不同的排列，排序过程对应为高度为h，具有n!个叶子节点的二叉决策树，由于高度为h的二叉树最多有$2^h$个叶子节点，则有$2^h\ge n!$，即
$$\begin{gathered} n!=\sqrt{2\pi n(\frac{n}{e}{)}^n} \\ h\ge lg(n!)=\Omega (nlgn) \end{gathered}$$
则排序问题的下界为$\Omega (nlgn)$

3.4 中值与顺序统计量

3.4.1 Decrease and Conquer原理

原始问题划分为若干子问题，将原始问题转化为其中某个子问题的计算。例如，折半查找。

与Divide and Conquer不同，该方法（减治方法）仅需要求解某一个子问题，即可得到原始问题的解。

3.4.2 Selection Problem

描述：寻找序列中的第k小的元素

原始算法：排序后寻找，时间复杂度为O(nlgn)

主要思想：S=$\{a_1,a_2,\dots ,a_n\}$，用S中的一个值p将S分成三部分，分别为比p小的（$S_1$），和p相等的（$S_2$），比p大的（$S_3$）。如果|$S_1$|>k，那么第k小的元素就在$S_1$中，继续对$S_1$进行上述步骤。如果$|S_1|+|S_2|>k$，那么p就是第k小的元素。否则，S中第k小的元素就是$S_3$中第$(k-|S_1|-|S_2|)$小的元素，对$S_3$进行上述步骤。

如何寻找p：将n个元素划分为n/5个子集（每个子集有5个元素），将每个子集内部排序，p为所有子集的中间子集的中间元素。

该算法的时间复杂度为$O(n)$

3.5 寻找最近的一对点（一维空间）

原始算法：将点集排序，扫描即可，时间复杂度为O(nlgn)

分治算法：

​ 边界条件：如果Q中仅包含两个点，就返回这个点对。

​ Divide：求出Q里点的中位数m，用m将Q划分为两个大小相等的子集合$Q_1,Q_2$

​ Conquer：递归地在$Q_1,Q_2$中找出最接近的点对

​ Merge：将$Q_1$中最大点和$Q_2$中最小点组成一个点对，与刚刚找到的两个点对比较，找出结果。

该算法的时间复杂度为O(nlgn)

二维空间的搜索：

​ 边界条件：若Q中仅包含三个点，就返回最近的点对

​ Divide：寻找x坐标的中位数并分割

​ Conquer：递归地在两部分中寻找最小点对

​ Merge：设两部分的最小点对距离为d，则在中线左右距离为d的临界区查找小于d的点对。

在临界区的搜索算法：

​ 点对必然跨越中线

Q‘L = QL - {非临界区点}；
Q‘R = QR - {非临界区点} ；
For p in Q’L Do
	For q in Q’R Do
		If Dis(p, q)<d
		Then d=Dis(p, q), 记录(p, q);
如果d发生过变化, 与最后的d对应的点对即为(pl , qr),
否则不存在(pl, qr)

该算法的时间复杂度为O(nlgn)

3.6 凸包算法

原始算法：

求Q中y-坐标值最小的点p0；
按照与p0极角（逆时针方向）大小排序Q中其余点，结果为<p1, p2, …, pn>；
Push p0, p1, p2 into S;
FOR i=3 TO n DO
	While Next-to-top(S)、 Top(S)和pi形成非左移动 Do
		Pop(S);
	Push(pi, S);
Return S.

时间复杂度：O(nlgn)

分治算法：

​ 边界条件：如果|Q|<3，算法停止，如果|Q|=3，按照逆时针方向输出CH(Q)的顶点

​ Divide：使用x轴中线将Q划分为左右两个集合

​ Conquer：递归地为左右两个部分构造凸包

​ Merge：对左右两个凸包上的点进行原始算法合并凸包

该算法的时间复杂度为O(nlgn)

第四章 动态规划算法

4.1 概述

用于解决分治算法的问题：如果子问题不是相互独立的，分治算法会重复计算

优化问题：动态规划是解决优化问题的一种常见方法

步骤：

1. 把原始子问题划分为一系列子问题
2. 求解每个子问题一次，并将结果保存在表中，以后用到直接存取
3. 自底向上求解

条件：

• 优化子结构：当一个问题的优化解包含了子问题的优化解时， 我们说这个问题具有优化子结构。
• 重叠子问题

算法设计步骤：

1. 分析优化解的结构
2. 递归地定义最优解的代价
3. 递归地划分子问题，直至不可分
4. 自底向上地求解各个子问题
   • 计算优化解的代价并保存之
   • 获取构造最优解的信息
5. 根据构造最优解的信息构造优化解

4.2 矩阵链乘法

问题：输入多个矩阵，求出计算所有矩阵相乘所需的最小计算代价

矩阵乘法的代价：若A为$p\times q$的矩阵，B是$q\times r$的矩阵，则$A\times B$的代价是$O(pqr)$。

动态规划算法：

1. 分析优化解的结构

   

优化子结构：如果红色方案代价最小，那么计算$A_1\times \dots \times A_k$的方案必须是代价最小的方案，计算$A_{K+1}\times \dots \times A_n$的方案必须是代价最小的方案

子问题重叠性：

2. 递归定义最优解代价

   设m[i, j]为计算$A_{i\sim j}$的最小乘法数

   考虑到所有的k，优化解的代价方程为
   KaTeX parse error: No such environment: equation at position 8: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲}̲\begin{cases}m[…

最终的最优解存放在m[1, 5]中。

该算法的时间复杂度为$O(n^3)$

4.3 最长公共子序列（LCS）

问题：寻找两个序列的最长公共子序列

注意：子序列不同于子串，子序列可以不相互连接

第i前缀：设X=($x_1,x_2,...,x_n$)是一个序列，则Xi=($x_1,...,x_i$)是X的第i前缀。

优化子结构：设X=($x_1,x_2,\dots ,x_m$)，Y=$\{y_1,...,y_n\}$为两个序列，$LC{S}_{XY}=\{z_1,...,z_k\}$是X与Y的LCS，则有

1. 如果$x_m=y_n$，则$z_k=x_m=y_n$，$LC{S}_{XY}=LC{S}_{X_{m-1}{Y}_{n-1}}+<x_m=y_n>$
2. 如果$x_m\ne y_n$，且$z_k\ne x_m$，则$LC{S}_{XY}$是$X_{m-1}$和Y的LCS，即$LC{S}_{XY}=LC{S}_{X_{m-1}Y}$
3. 如果$x_m\ne y_n$，且$z_k\ne y_n$，则$LC{S}_{XY}$是X和$Y_{n-1}$的LCS，即$LC{S}_{XY}=LC{S}_{X{Y}_{n-1}}$

定义$C[i,j]=X_i$与$Y_j$的LCS长度。

子问题重叠性：

LCS长度的递归方程：
KaTeX parse error: No such environment: equation at position 8: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲}̲C[i,j]=\begin{c…
递归求解过程：

字符串的第0位认为为空。

构造优化解：从B[m,n]开始按照指针搜索，若为斜向箭头，则是LCS的一部分，搜索到的结果为最终结果的Inverse。

该算法的时间复杂度为$O(mn)$

4.4 0-1背包问题

问题描述：给定n种物品和一个背包，物品i的重量是$w_i$，价值$v_i$, 背包承重为C, 问如何选择装入背包的物品，使装入背包中的物品的总价值最大？

原始方法：n个物品共$2^n$种方案，每个方案的计算代价为n，则总计算代价为$O(n{2}^n)$。

子问题的重叠性：

每个分叉处都对应着某个物品装或不装，向右为不装，向左为装，大括号外为剩余的容量

定理：如果$S_i=(y_i,y_{i+1},\dots ,y_n)$是0-1背包问题的子问题$P_i=[\{i,i+1,\dots ,n\},C_i=C-{\sum }_{1\le k\le i-1}{w}_k{y}_k]$的优化解，则$(y_{i+1},\dots ,y_n)$是如下子问题$P_{i+1}$的优化解：
$$\begin{gathered} max\sum _{i+1\le k\le n}{v}_k{x}_k \\ \sum _{i+1\le k\le n}{w}_k{x}_k\le C_i-w_i{y}_i \\ {x}_k\in \{0,1\},i+1\le k\le n \end{gathered}$$
以上问题的最优解代价为：$m(i,j)={\sum }_{i\le k\le n}{v}_k{x}_k$

递归求解：

4.5 最优二叉搜索树

第五章 贪心算法

5.1 贪心算法基本原理

期望使用局部最优以达到整体最优的效果，但是不一定能达到全局最优。

贪心算法产生优化解的条件：

• 优化子结构：一个优化问题的优化解包含它的剩余子问题的优化解
• Greedy选择性：一个优化问题的全局优化解可以通过局部优化选择得到

准确Greedy算法的设计步骤：

1. 设计贪心选择方法
2. 证明：对于1的贪心选择来说，所求解的问题具有优化子结构
3. 证明：对于1的贪心选择来说，所求解的问题具有Greedy选择性
4. 按照1设计算法

5.2 活动选择问题

问题描述：设S={1,2,…,n}是n个活动的集合，所有活动共享一个资源，该资源同时只能为一个活动使用。每个活动i有起始时间$s_i$， 终止时间$f_i$， $s_i\le f_i$。活动i和j是相容的， 若$s_j\ge f_i或s_i\ge f_j$。输入一系列活动和它们的起始结束时间，求最大相容活动的集合。

贪心思想：为了选择最多的相容活动， 每次选$f_i$最小的活动， 使我们能够选更多的活动。

剩余子问题：$S_i=\{j\in S|s_j\ge f_i\}$

优化解结构分析：

引理1：设$S=\{1,2,\dots ,n\}$是n个活动集合，$[s_i,f_i]$是活动i的起始终止时间，且$f_1\le f_2\le \dots \le f_n$。则S的活动选择问题的某个优化解包括活动1。

引理2：设S={1, 2, …, n}是n个活动集合， $[s_i,f_i]$是活动i的起始终止时间，且$f_1\le f_2\le \dots \le f_n$， 设A是S的调度问题的一个优化解且包括活动1，则$A^{\prime }=A-\{1\}是S^{\prime }=\{i\in S|s_i\ge f_1\}$的调度问题的优化解。（优化子结构）

引理3：设 S={1, 2, …., n}是 n 个活动集合，$f_1\le f_2\le \dots \le f_n$，$f_{l_0}=0$，$l_i$是$S_i=\{j\in S|s_j\ge f_{l_i-1}\}$中具有最小结束时间$f_{l_i}$的活动。设A是S的包含活动1的优化解, 则$A={\cup }_{i=1}^k\{l_i\}$。（Greedy选择性），如：

如果结束时间已经排序，那么$T(n)=\theta (n)$，否则为$T(n)=\theta (nlogn)$

5.3 哈夫曼编码

问题：编码树的代价：

设C是字母表(给定文件中的字母集合)，$\forall c\in C$，f©是c在文件中出现的频数，$d_T(c)$是叶子c在树T中的深度， 即c的编码长度，T的代价是编码一个文件的所有字符的代码长度。即
$$B(T)=\sum _{c\in C}f(c)d_T(c)$$
贪心思想：循环地选择具有最低频数F的两个结点，生成一棵子树，直至形成树（哈夫曼算法）。

剩余子问题的结构：
$$\begin{gathered} C^{\prime }=(C-\{x,y\})\cup \{z\} \\ {F}^{\prime }=(F-\{f(x),f(y)\})\cup \{f(z)\},f(z)=f(x)+f(y) \end{gathered}$$
引理（优化子结构）：设T是字母表C的优化前缀树， $\forall c\in C$， f©是c在文件中出现的频数.设x、 y是T中任意两个相邻叶结点， z是它们的父结点，则z作为频数是f(z)=f(x)+f(y)的字符， T’=T-{x,y}是字母表C’=C-{x,y}∪{z}的优化前缀编码树。

引理（Greedy选择性）：设C是字母表， $\forall c\in C$， c具有频数f©, x、 y是C中具有最小频数的两个字符， 则存在一个C的优化前缀树， x与y的编码具有相同最大长度， 且仅在最末一位不同.

哈夫曼算法的时间复杂度为：O(nlgn)

5.4 最小生成树问题

问题描述：边加权无向图，边加权和最小的连通图

Kruskal算法：

算法的思想：初始：A=空，构造森林$G_A=(V,A)$，选择连接$G_A$中两棵树的具有最小权值的边加入A。

引理（Greedy选择性）：设(u,v)是G中权值最小的边， 则必有一棵最小生成树包含边(u,v)。

引理（优化子结构）：给定加权无向连通图G=(V,E),权值函数为 W:E$\to$R，$(u,v)\in E$是G中权值最小的边。设T是G的包含(u,v)的一棵最小生成树，则T/(u,v)是G/(u,v)的一棵最小生成树。

算法：

时间复杂度：设边的个数为n，则时间复杂度为$O(nlogn)$

Prim算法：

贪心策略：

• 以任意顶点vr作为树根，初始C={vr}
• 选择C和V-C之间权值最小的边(x,y), $x\in C,y\in V-C$
• $C=C\cup y$

引理（Greedy选择性）：设(u,v)是G中与节点u相关联的权值最小的边， 则必有一棵最小生成树包含边(u,v)。

引理（优化子结构）：给定加权无向连通图G=(V,E),权值函数为 W:E$\to$R，$(u,v)\in E$是G中权值最小的边。设T是G的包含(u,v)的一棵最小生成树，则T/(u,v)是G/(u,v)的一棵最小生成树。

算法：

第六章 树搜索

6.2 最优树搜索策略

爬山法：使用贪心方法确定搜索到方向，是优化的深度优先策略，使用启发式测度来排序节点扩展的顺序。

例如：8-Puzzle问题的启发式测度函数定义为$f(n)=W(n)$，其中$W(n)$是节点n中处于错误位置的方块数。

爬山法：

1. 构造由根组成的单元素栈S;
2. If Top(S)是目标节点 Then 停止;
3. Pop(S);
4. S的子节点按照其启发测度由大到小的顺序压入S;
5. If S空 Then 失败 Else goto 2.

最佳优先搜索策略：

结合深度优先和广度优先，根据评价函数，在目前产生的所有节点中选择具有最小评价函数值的节点进行扩展，具有全局优化观念。

分支界限法：以上算法难以求解优化问题

分支界限法可以有效地求解组合优化问题，思想：

1. 迅速找到一个可行解
2. 将该可行解作为优化解的一个界限
3. 利用界限裁剪

与爬山法和Best-First法相结合。

举例：

6.3 人员安排问题

问题描述：人的有序集合和工作的有序集合（人数与工作数相等），以及矩阵$[C_{ij}]$，其中$C_{ij}$是$P_i$被分配工作$J_i$的代价。要使总代价最少。

命题：$P_1\to J_{k1}$、$P_2\to J_{k2}$、 …、$P_n\to J_{kn}$是一个可能解, 当且仅当$J_{k1}、J_{k2}、\dots 、J_{kn}$是一个拓扑排序的序列

问题的树表示（由偏序关系直接生成拓扑排序树）：

逐渐删除没有入边（没有前序元素）的节点即可：

解空间的加权树表示：

将代价矩阵的每一行减掉最小值使其出现0，再将每一列减掉最小值使其出现0，所有的0即为具有最小代价的分配方案，若不可行，则其代价和为可行解的代价下界。

使用改进后的解空间求解。

由于使用爬山法首先遍历右支，得到可行解的下界为70，于是左支可直接减掉。

即：一旦发现一个可能解, 将其代价作为界限, 循环地进行分支界限搜索: 剪掉不能导致优化解的子解, 使用爬山法继续扩展新增节点, 直至发现优化解。

6.4 旅行商问题

问题描述：无向连通图，非负加权边，寻找一条从任意节点开始，经过每个节点一次，最后返回开始节点的路径，且路径的代价（加权和）最小。

二叉树建立算法中可以应用策略：

• 发现优化解的上界$\alpha$；
• 如果一个子节点的代价下界超过$\alpha$，则终止该节点的扩展

---

待补充

6.5 0-1背包问题

转换为树搜索问题：

• 按照价值重量比降序排列n个物品
• 空包为根
• 用爬山法或Best-First递归地划分解空间，得到二叉树
• 树中第i层的每个节点都代表了n个物品中所有符合以下特征的子集
  • 每个子集对应于序列中前i个物品的一个特定选择
  • 这个特定选择是根据从根到该节点的一条路径确定的：向左的分支表示包含下一个物品，向右的分支表示不包含下一个物品
• 每个节点中记录如下信息：当前装入背包物品的总重量w及总价值v，此时背包能够容纳的物品价值上界UB

分支界限搜索算法：计算节点代价的上界UB：$UB=v+(C-\omega )\times (v_{i+1}/{\omega }_{i+1})$或UB=v+UB’，UB’是部分背包算法在子问题({i+1, i+2,…,n}, C-w)上的最优解代价。

注意：0/1背包问题的优化解是部分背包问题的可行解，部分背包问题的优化解是0/1背包问题优化解上界。

策略：

举例：

6.6 A*算法

基本思想：A*算法使用Best-First策略进行搜索，某些情况下，一旦得到了一个解，它一定是优化解，于是算法可以停止而无需搜索整个解空间。

关键：代价函数

对于任意节点n：g(n)=从树根到n的代价，h*(n)=从n到目标结点的优化路径代价，f*(n)=g(n)+h*(n)是经过结点n到达目标结点的代价。

h*(n)未知，所以需要估计h*(n)，保证以下即可：

• 使用任何方法去估计h*(n), 用h(n)表示h*(n)的估计
• $h(n)\le$h*(n)总为真
• f(n)=g(n)+h(n)$\le$g(n)+h*(n)=f*(n)定义为n的代价

举例：最短路径问题

A*算法规则：

1. 使用Best-first搜索策略
2. 算法中代价函数f(n)定义为g(n)+h(n)，g(n)是从根到n的路径代价, h(n)是h*(n)的估计值，且对于所有n, h(n)$\le$h*(n)
3. 当选择到的结点是目标结点时，算法停止，该目标结点即为优化解。

A*算法的正确性：使用Best-first策略搜索树，如果A*选择的结点是目标结点，则该结点表示的解是优化解

第七章 平摊分析

7.1 平摊分析的基本原理

关注一系列数据结构上操作的时间复杂度：考虑序列$O{P}_1,O{P}_2,\dots ,O{P}_m$，想确定这个操作序列可能花费的最长时间。然而OP之间相互关联，无法假设独立。

举例：普通栈操作：Push(S, x)：将对象x压入栈S。Pop(S)：弹出并返回S的顶端元素。可将每个操作的实际代价视为1，于是n个操作的实际运行代价为$\theta (n)$。

Multipop(S, k)：弹出S的k的栈顶对象，该操作的实际代价为$min(|S|,k)$。

聚集方法（每个操作的代价）：确定n个操作的上界$T(n)$，每个操作平摊T(n)/n

会计方法（整个操作序列的代价）：不同类型操作赋予不同的平摊代价，某些操作在数据结构的特殊对象上"预付"代价

Potential方法（整个操作序列的代价）：不同类型操作赋予不同的平摊代价，“预付"的代价作为整个数据结构的"能量”

7.2 聚集方法

举例分析：n个栈操作序列由Push、Pop和Multipop组成

一个对象在每次被压入栈后至多被弹出一次，在非空栈上调用Pop的次数(包括在Multipop内的调用)至多为Push执行的次数, 即至多为n，最坏情况下操作序列的代价为$T(n)\le 2n=O(n)$，于是平摊代价为$T(n)/n=O(1)$

举例：二进制计数器

问题描述：由0开始计数的k位二进制计数器

算法为：

分析：A[0]每次操作发生一次改变，总次数为n；A[1]每两次操作发生一次改变，总次数为n/2；A[2]每四次操作发生一次改变，总次数为n/4。一般的，对于i=0, 1, …., lgn，A[i]改变的次数为$n/2^i$，对于i>lgn，A[i]不发生改变。则n个操作的总代价为$O(n)$，每个操作的平摊代价为O(1)。

7.3 会计方法

为每种操作分配不同的平摊代价

举例：栈操作序列

Cost(PUSH)=2，一个1用来支付PUSH的开销，另一个1存储在压入栈的元素上，预支POP的开销

Cost(POP)=0，Cost(MULTIPOP)=0

平摊代价满足：${\sum }_{1\le i\le n}{a}_i-{\sum }_{i\le i\le n}{c}_i\ge 0$对于任意的n个操作序列都成立，因为栈中对象数$\ge$0。

n个栈操作序列的总平摊代价为$O(n)$

举例：二进制计数器

每次一位被置为1时，Cost=2，置为0的开销为0

于是n个Increment操作序列的总平摊代价为O(n)

7.4 Potential方法

目的是分析n个操作系列的复杂性上界，在会计方法中，如果操作的平摊代价比实际代价大，我们将余额与数据结构的数据对象相关联。Potential方法把Credit余额与整个数据结构关联，所有的这样的余额之和，构成数据结构的势能

如果操作的平摊代价大于操作的实际代价， 势能增加，如果操作的平摊代价小于操作的实际代价，要用数据结构的势能来支付实际代价， 势能减少。

通常定义$\varphi (D_0)=0，\varphi (D_i)\ge 0$

举例：栈的势能定义：

$\varphi (D_m)$定义为$D_m$中的对象的个数，$c_i$为操作i的实际代价

栈操作的平摊代价（设栈$D_{i-1}$中有s个对象）

PUSH：$a_i=c_i+\varphi (D_i)-\varphi (D_{i-1})=1+(s+1)-s=2$

POP：$a_i=c_i+\varphi (D_i)-\varphi (D_{i-1})=1+(s-1)-s=0$

MULTIPOP(S, k)：设k’=min(k, s)，于是$a_i=c_i+\varphi (D_i)-\varphi (D_{i-1})=k^{\prime }+(s-k^{\prime })-s=k^{\prime }-k^{\prime }=0$

举例：计数器的势能定义

$\varphi (D_m)$定义为第m个操作后计数器中1的个数$b_m$

INCREMENT操作的平摊代价：

第i个INCREMENT操作把$t_i$个位置成0, 实际代价为$c_i=t_i+1$，计算操作i的平摊代价$a_i=c_i+\varphi (D_i)-\varphi (D_{i-1})$

若$b_i=0$，操作i把所有k位置0，所以$b_{i-1}=k，t_i=k$；若$b_i>0$，则$b_i=b_{i-1}-t_i+1$；于是$b_i\le b_{i-1}-t_i+1$，$\varphi (D_i)-\varphi (D_{i-1})=b_i-b_{i-1}\le b_{i-1}-t_i+1-b_{i-1}=1-t_i$

平摊代价为$a_i=c_i+\varphi (D_i)-\varphi (D_{i-1})\le (t_i+1)+(1-t_i)=2$，n个操作的总平摊代价为O(n)

7.5 动态表性能平摊分析

动态表支持的操作：TABLE-INSERT:将某一元素插入表中；TABLE-DELETE:将一个元素从表中删除

数据结构：用一个（一组）数组来实现动态表，非空表T的装载因子$\alpha (T)=T$存储的对象数/表的大小。

扩张算法：

插入一个数组元素时，完成的操作包括：

• 分配一个包含比原表更多的槽的新表
• 再将原表中的各项复制到新表中去

常用的启发式技术是分配一个比原表大一倍的新表

聚集分析：

第i次操作的代价$C_i$：如果$i=2^m$，$C_i=i$，否则$C_i=1$

n次TABLE—INSERT操作的总代价为${\sum }_{i=1}^n{c}_i\le n+{\sum }_{j=0}^{|lgn|}{2}^j<n+2n=3n$

每一操作的平摊代价为3n/n=3

会计方法：

每次执行TABLE-INSERT平摊代价为3，1支付基本插入操作的实际代价，1作为自身存款，1存入表中第一个没有存款的数据上

当发生表的扩张时，数据的复制代价由数据上的存款来支付

初始为空的表上n次TABLE-INSERT操作的平摊代价总和为3n

势能法分析：

势能函数满足：刚扩充完，$\varphi (T)=0$，表满时，$\varphi (T)=size(T)$

于是定义势能函数$\varphi (T)=2\ast num[T]-size[T]$

第i次操作的平摊代价，无论是否发生扩张，${\alpha }_i=3$

初始为空的表上n次插入操作的代价的上界为3n

动态表的收缩：

策略：表的装载因子小于1/2时，收缩表为原表的一半，操作平摊代价太高

改进策略：删除数据项引起表不足1/4满时，将表缩小为原表的一半，扩张和收缩过程都使得表的装载因子变为1/2

动态表上n次(插入、删除)操作的代价分析：

势能函数的定义：

• 当装载因子为1/2时，势为0
• 装载因子为1时，有num[T]=size[T]，即$\varphi$(T)=num[T]。这样当因插入一项而引起一次扩张时，就可用势来支付其代价
• 当装载因子为1/4时， size[T]=4$\cdot$num[T]。即$\varphi$(T)=num[T]。因而当删除某项引起一次收缩时就可用势来支付其代价

于是，势能函数定义为：
$$\Phi (T)=\{\begin{array}{ll}2\cdot num[T]-size[T]& \alpha (T)\ge 1/2\\ size[T]/2-num[T]& \alpha (T)<1/2\end{array}$$
第i次操作的平摊代价$a_i=c_i+\varphi (T_i)-\varphi (T_i-1)$

• 第i次操作是TABLE—INSERT ：未扩张，${\alpha }_i\le 3$
• 第i次操作是TABLE—INSERT ：扩张，${\alpha }_i\le 3$
• 第i次操作是TABLE—DELETE ：未收缩，${\alpha }_i\le 3$
• 第i次操作是TABLE—DELETE ：收缩，${\alpha }_i\le 3$

动态表上n个操作的实际时间为O(n)

7.6 并查集性能平摊分析

目的：管理n个不相交的集合C={$S_1,...,S_n$}，每个集合$S_i$维护一个代表元素$x_i$

支持的操作：

• MAKE-SET(x): 创建仅含元素x的集合
• UNION(x,y) : 合并代表元素分别x和y的集合
• FIND-SET(x) : 返回x所在集合的代表元素

目标：使得如下操作序列的代价尽可能低

• n个MAKE-SET 操作 (开始阶段执行)
• m个MAKE-SET, UNION, FIND-SET操作(后续)
• $m\ge n$，UNION操作至多执行 n-1次

并查集的直接实现为一个链表

并查集链表实现的性能分析：

1. 开始阶段执行n个MAKE-SET 操作的总代价O(n)

2. 后跟n-1个 UNION操作的总代价O($n_2$)

   

3. 总共执行执行2n-1次操作的总代价为O($n_2$)，从平摊效果看，每个操作的开销为O(n)

**改进：**每个链表表头记录集合（或）链表中元素的个数，Union操作时将较短链表链接到较长链表

在改进后的并查集上执行由Make_set, Find和Union操作构成的长度为m+n的操作序列（其中Make_Set操作有m个），则该操作序列的时间复杂度为O(m+nlogn)

并查集的森林实现：

• MAKE-SET(x): 创建仅含元素x的一棵树，O(1)
• UNION(x,y) : 将x作为y的孩子，O(1)
• FIND(x) : 从结点x沿父指针访问直到树根，O($T_x$)

改进策略：路径压缩。

改进策略：按秩合并。

• MakeSet(x)操作执行时定义结点x的秩为0
• Find操作不改变任意顶点的秩
• Union(x,y) 分两种情况修改结点的秩
  • rank(x)=rank(y)。此时，令x指向y且y是并集的代表元素， rank(y)增加1， rank(x)不变（其他结点的秩也保持不变）
  • rank(x)

在并查集上执行m个操作的时间复杂度为O(m$\alpha$(n))

第八章 图算法

8.1 网络流算法

定义：一个源节点s、一个汇点t，由源节点流向汇点，流量守恒

流网络：无自环的有向图$G=(V,E)$

流：设G(V,E)是一个流网络， c是容量函数， s源结点， t是汇点。G中的流是一个实值函数$f:V\times V\to R$，满足以下性质：

1. 流量约束：$\forall u,v\in V,0\le f(u,v)\le c(u,v)$

2. 流量守恒：$\forall u\in V-\{s,t\}$，有
   $$\sum _{v\in V}f(v,u)=\sum _{v\in V}f(u,v)$$

前提：单源单汇单向

最大流问题：求出一个流网络中具有最大流值的流

循环递进：初始时网络上的流为0，找出一条从s到t的路径p和正数a，使得p上的每一条边(u,v)的流量增加a之后仍能够满足容量约束：$f(u,v)+a\le c(u,v)$，重复执行，直到找不到满足约束条件的路径

Ford-Fulkerson方法

在一个关联的剩余网络中寻找一条增广路径

剩余网络：给定流网络G(V,E)和一个流f，则由f诱导的G的剩余网络为$G_f＝(V,E_f)$，其中$E_f$为

• 对于G中每条边 (u, v)，若c(u,v)-f(u,v)>0，则$(u,v)\in Ef$ ，且cf(u,v)＝c(u,v)-f(u,v) (称$c_f(u,v)$为剩余容量residual capacity)
• 对于G中每条边 (u, v)，在$G_f$中构造边(v, u)，且$c_f(v,u)＝f(u,v)$

增广路径：剩余网络中的一条由源结点s到汇点t的一条路径p

增广路径p的剩余容量：$c_f(p)=min\{c_f(u,v):(u,v)属于路径p\}$，表示了该路径能够增加的流的最大值

举例：

Ford-Fulkerson方法：在剩余网络中寻找增广路径

FF算法的核心是：通过增广路径不断增加路径上的流量，直到找到一个最大流为止

如何判断是否已经获得最大流

流网络的割：

给定流网络 G＝(V,E),其源为s，汇为t，G的一个割(cut)是V的2-集合划分(S, T), T=V-S, 且$s\in S,t\in T$，割的容量定义为$c(S,T)={\sum }_{u\in S,v\in T}c(u,v)$

割的净流量为$|f|,f(S,T)={\sum }_{u\in S}{\sum }_{v\in T}f(u,v)-{\sum }_{u\in S}{\sum }_{v\in T}f(v,u)$

显然：流网络G中任意流的值不能超过G的任意割的容量

最小割：整个网络中容量最小的割

最大割最小割定理：

1. f是G的最大流
2. 剩余网络$G_f$不包含增强路径
3. 对于G的某个划分(S, T)，$|f|=c(S,T)$

即，一个最大流的值实际上等于一个最小割的容量

Max-Min关系：对偶关系，最大流和最小割，最大匹配和最小覆盖

利用Max-Min关系求解最大流问题

1. 初始化一个可行流$f$，0-流：所有边的流量均等于0的流
2. 不断将$f$增大，直到$f$不能继续增大
3. 找出一个割(S, T)使得$|f|=c(S,T)$

Ford-Fulkerson算法

时间复杂度为O(|f*||E|)

如何加速增广路径的寻找

Edmonds-Karp算法

利用宽度优先在剩余网络$G_f$中寻找增广路径

• 从源结点s到汇点t的一条最短路径
• 每条边的权重为单位距离
• ${\delta }_f(u,v)$=剩余网络$G_f$中从结点u到结点v的最短路径距离

Push-Relable方法：

第九章 字符串匹配算法

9.2 精确匹配算法

Rabin-Karp算法：

将字符串的比较转化成数的比较：两个数相对于第三个数模等价

即，若$a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}q=b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}q$，则a和b有可能相等

另$d=|\Sigma |$，于是${\Sigma }^{\ast }$中的任意字符串x可以看作一个d进制数

有限自动机与字符串匹配：

• 有限自动机就是构建出一个满足某个特定模式的判断系统

Knuth-Morris-Pratt 算法：

即KMP算法

P	a	b	a	b	a	c	a
q	0	1	2	3	4	5	6
$\pi [q]$	0	0	1	2	3	0	1

Boyer-Moore 算法：

• 逆向搜索：从P的后面开始搜索
• 坏字符启发式规则
• 好后缀启发式规则

坏字符规则：

若$P[j]\ne T[i]$时，

• 如果坏字符T[i]没有出现在模式P中，则直接将模式串移动到坏字符的下一个字符
• 如果坏字符T[i]出现在模式P中，将P中位置j左面最近的x移到T(i)下面

好后缀：从后向前扫描遇到“ 坏字符” 前已经匹配的子串

给定P、T，T中字符t后面子串s匹配了P的一个后缀， 但是再往左一个字符就不匹配了。 寻找t’

• t’和t相同
• t’不是P的后缀
• t’左边的那个字符同与t匹配的P的后缀的左面那个字符不相同

将P向右移， 直到t’位于t的下面

若不存在t’， 则将P向右移动最少的步数， 使P的前缀同t右子串s的后缀相匹配（与KMP类似）

若这种情况也不存在， 则将P右移m步（与KMP类似）

Boyer-Moore-Horspool 算法：

仅考虑坏字符规则