数论概论读书笔记 25.哪些数可表成两个平方数之和

哪些数可表成两个平方数之和

对于一个正整数 m m ，如果 m m 每个素因子都可以表示成两个平方数之和，则素因子分解后，用公式

(u2+v2)(A2+B2)=(uA+vB)2+(vA−uB)2 ( u 2 + v 2 ) ( A 2 + B 2 ) = ( u A + v B ) 2 + ( v A − u B ) 2

迭代即可求出最后组成 m m 的两个平方数

但还有一些 m m ，不满足上述条件。

但列出后可以发现，对于 m=a2+b2 m = a 2 + b 2 ，两边乘上 d2 d 2 ，可得

d2m=(da)2+(db)2 d 2 m = ( d a ) 2 + ( d b ) 2

于是，若 m m 是两个数平方和，则 d2m d 2 m 也是

于是可以将一个数 m m 质因子中的平方项先提出来。

定理 两平方数之和定理 设 m m 是正整数

• 将 m m 质因子这样分解后

m=p1p2...prM2 m = p 1 p 2 . . . p r M 2

其中 p1,p2,...,pr p 1 , p 2 , . . . , p r 是互不相同的素因子，则 m m 可以表示成两个平方数之和的充要条件是每个 pi p i 或为2或为模4余1

• m m 能表示成 m=a2+b2 m = a 2 + b 2 ，且 gcd(a,b)=1 g c d ( a , b ) = 1 ，当且仅当以下两个条件之一成立：

  1. m m 是奇数，且 m m 的每个素因子都模4余1
  2. m m 是偶数， m/2 m / 2 是奇数且 m/2 m / 2 的每个素因子都模4余1

回顾一下，本原勾股数组

定理2.1 （勾股数组定理）. 每个本原勾股数组（a,b,c)（a为奇数，b为偶数)都可从如下公式得出：

a=st,b=s2−t22,c=s2+t22 a = s t , b = s 2 − t 2 2 , c = s 2 + t 2 2

其中s>t>=1是任意没有公因数的奇数，即互质的奇数

有以上两条定理可知， c c 是一个本原勾股数组的斜边当且仅当方程

2c=s2+t2 2 c = s 2 + t 2

有互素的奇整数解 s,t s , t

且有如下命题

毕达哥拉斯斜边命题 c c 是一个本原勾股数组斜边的充要条件是 c c 是模4余1的素数的乘积