素数判定的一些讨论（Miller-Rabin算法）

很久没有写博客了。。。最近军训加开学，感觉刷题速度有降低，要补一补。

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回归正题，正式进入数论阶段，讨论一下关于素数判定的那些事。

一类问题： 判定一个整数n(n>1)是否为素数。

算法1:

直接根据素数的定义枚举 i 从 2 到 (n−1) ，如果n%i==0 n 为合数。
时间复杂度： O(n)

bool is_prime(int n) {
    int i;
    for(i = 2; i < n; i++)
        if(n % i == 0) return false;
    return true;
}

算法2:

发现若存在 i<n 使得n%i==0，则必有n%(n/i)==0。
所以只需枚举 i 从 2 到 sqrt(n) 即可。
时间复杂度： O(n√)

bool is_prime(int n) {
    int i;
    for(i = 2; i * i <= n; i++)
        if(n % i == 0) return false;
    return true;

Miller-Rabin算法:

这是一种随机性素数判定算法，也就是说，答案可能出错，但是可能性极小。

先是讲两个定理：

费马小定理：
对于一个质数 p ，取任意整数 a ，满足 gcd(p,a)=1 ，则有

ap−1≡1(modp)

二次探测定理：
对于 0<x<p ，若 p 是素数，则方程：

x2≡1(modp)

的解为：

x1=1,x2=p−1

因为费马小定理的逆命题不成立，而否逆命题成立，所以我们可以利用一下一点：
对于任意整数 a<p ，不满足 ap−1≡1(modp) ，则p为合数。

所以我们可以不断在区间 [2,p−1] 范围内随机取a，并进行判定。在 s 次判定不为合数之后，我们就可以说这个数是质数。

但是这还不够精确，我们可以先把 p−1 分解成 2t×u(u∈{x|x=2∗k+1,k∈N}) 的形式，然后令 x[0]=aumodp, ，那么将 x[0] 平方 t 次就是 (au)2tmodp 的值，我们设 x[i] 为 x[0] 平方 i 次的值，根据二次探测定理，若 x[i] 等于1，则 x[i−1] 等于1或p-1，不满足则 p 为合数。

注意以上操作中所有的形如 abmodp 的式子都要用快速幂运算，当n比较大时，形如 a×bmodp 的式子也要使用分治的思想来计算。

这就是Miller-Rabin算法的主要内容。

时间复杂度：考虑常数后为 O(slog3n)

代码如下：

const int MAXN = 65;
long long n, x[MAXN];

long long multi(long long a, long long b, long long p) {
    long long ans = 0;
    while(b) {
        if(b&1LL) ans = (ans+a)%p;
        a = (a+a)%p;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

long long qpow(long long a, long long b, long long p) {
    long long ans = 1;
    while(b) {
        if(b&1LL) ans = multi(ans, a, p);
        a = multi(a, a, p);
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

bool Miller_Rabin(long long n) {
    if(n == 2) return true;
    int s = 20, i, t = 0;
    long long u = n-1;
    while(!(u & 1)) {
        t++;
        u >>= 1;
    }
    while(s--) {
        long long a = rand()%(n-2)+2;
        x[0] = qpow(a, u, n);
        for(i = 1; i <= t; i++) {
            x[i] = multi(x[i-1], x[i-1], n);
            if(x[i] == 1 && x[i-1] != 1 && x[i-1] != n-1) return false;
        }
        if(x[t] != 1) return false;
    }
    return true;
}