进阶训练-数论

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质数

• 对于一个足够大的整数N，不超过N的质数大约有N/lnN个；
• 求出L，R(1<=L<=R<=2^31,R-L<=1e6)之间相邻两个质数的差的最大值是多少。解：筛出2~sqrt(R)间所有的素数，用这些素数筛掉[L,R]之间的合数，然后扫描即可。
• 将N!分解质因数。解：N！的每个质因子都不会超过N，将每个质因子p筛出来，然后考虑阶乘N!中有多少个质因子p。N！中p的个数就等于1~N中每个数包含p的个数之和。含一个p的就是N/p个，两个p的就是N/p^2个，因为在统计2个的时候已经统计过一个的，所以直接加上即可。所以p的因子个数为N/p+N/p^2+...+N/p^(lgN/lgp)个，枚举每个因子即可。

约数

• 若正整数N被唯一分解为N=p1^c1*p2^c2*...*pm^cm，则N的正约数集合可写作：{p1^b1*p2^b2*p3^b3*...*pm^bm}，其中0<=bi<=ci;
• N的正约数个数为(c1+1)*(c2+1)*...*(cm+1);
• N的所有正约数的和为(1+p1+p1^2+...+p1^c1)*(1+p2+p2^2+...+p2^c2)*(1+p3+p3^2+...+p3^c3)*...*(1+pm+pm^2+...+pm^cm);
• 一个整数N的约数个数上届为2sqrt(N)。
• 1~N中每个数的约数个数的总和大约为NlgN。

• 反素数：对于任何正整数x，其约数个数记为g(x)。如果对于任意的0 < i < x，都有g(x)>g(i)，那么x称为反质数。现给定一个数N(1<=N<=2e9)，求不超过N的最大反质数x。
  • 引理1: 1~N中最大的反质数，就是1~N中约数个数最多的数中最小的一个；
  • 引理2：1~N中任何数的不同质因子都不会超过10个，且所有质因子的指数综合不超过30；
  • 引理3：x的质因子是连续的若干个最小的质数，且指数单调递减
  • dfs尝试一次确定前10个质数的指数，并满足单调递减，总乘积不超过N，同时记录约数个数即可(以上证明详见《算法竞赛进阶指南》P140)。
• 余数之和：给定正整数n和k，求(kmod1)+(kmod2)+(kmod3)+…+(kmodn)的值。(1<=n,k<=1e9).
  • 转化为n*k-∑(k/i)i。
  • 除法分块，对于任意i∈[1,k]，k/i的值不超过2*sqrt(k)个。对于每一块最左边的元素x，与之同一块的最大元素为g(x)=k/(k/x).
  • 故上式对于每一块中的(k/i)*i=(k/x)*i,是[x,g(x)]的以(k/x)为公差的等差数列，整个式子∑(k/i)*i就是对每一块进行等差数列求和。

欧拉函数

• 欧拉函数的性质、求法

同余

• 基本概念：
  • 同余类：同一个集合中所有数模m同余，称他们为一个模m的同余类
  • 完全剩余系：模m的同余类一共有m个，他们构成m的完全剩余系
  • 简化剩余系：1~m中与m互质的数代表的同余类共有φ(m)个，他们构成m的简化剩余系。简化剩余系关于m乘法封闭，即如果a,b属于简化剩余系，则axb也属于简化剩余系。

• 费马小定理：若p是质数，对于任意整数a，有a^p≡a(mod p);
• 欧拉定理：若正整数a,n互质，则a^φ(n)≡1(mod p),其中φ(n)为欧拉函数。

• 欧拉定理的推论（欧拉降幂）：
  • 当正整数a,n互质，对于任意正整数b，a^b≡a^(b mod φ(n)) (mod n)
  • 当a，n不互质且b>φ(n)时，有a^b≡a^(b mod φ(n) + φ(n)) (mod n)
• 扩展欧几里得：对于任意整数a,b，存在一对整数x,y，满足ax+by=gcd(a,b)。
  • 当b=0时，显然有一对整数x=1，y=0，使得a*1+0*0=gcd(a,0);
  • 当b>0,则gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)。假设存在一对整数x,y，满足b*x+(a mod b)*y=gcd(b,a mod b)，因为bx+(a mod b)y=bx+(a-b(a/b))y=ay+b(x-(a/b)y)，所以令x’=y,y’=x-(a/b)y，就得到了ax’+by’=gcd(a,b)。
  • 对于更为一般的方程ax+by=c，它有解当且仅当d|c。我们先求出ax+by=d的一组特解x0,y0，然后同时乘上c/d，就得到了ax+by=c的一组特解(c/d)x0,(c/d)y0。
    事实上，方程ax+by=c的通解可以表示为x=(c/d)x0+k(b/d),y=(c/d)y0-k(a/d) (k∈Z)。
    其中k取遍整个整数集合，d=gcd(a,b)，x0,y0是ax+by=gcd(a,b)的一组特解。
• 中国剩余定理：对于形如x≡ai(mod mi)的方程组，x=∑aiMiti，其中Mi为除mi外所有模数的倍数，ti是线性同余方程Miti≡1(mod mi)的一个解。

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  LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y) { if(b==0){x=1,y=0;return a;} LL d=exgcd(b,a%b,x,y); ll z=x;x=y;y=z-y*(a/b); return d; //返回值为gcd(a,b) }

• 乘法逆元

• 线性同余方程
  • 给定整数a,b,m，求一个整数x满足ax≡b(mod m)，或者给出无解。
    • ax≡b(mod m)等价于求a·x-b是m的倍数，不妨设为-y倍。于是该方程可改写为a·x-b=-y·m，即a·x+m·y=b，可以用扩欧求解。
    • 此线性同余方程有解当且仅当gcd(a,m)|b。
    • 在有解时，用扩欧求出一组整数x0,y0，满足a·x0+m·y0=gcd(a,m)，然后x=x0*b/gcd(a,m)就是原线性同余方程的一个解。
    • 方程的通解是所有模m/gcd(a,m)与x同余的整数。
    • 例题：同余方程

• 高次同余方程

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  int baby_step_giant_step(int a,int b,int p){ map<int,int> Hash;Hash.clear(); b%=p; int t=(int)sqrt(p)+1; for(int j=0;j int val=(long long)b*power(a,j,p)%p;//b*a^j Hash[val]=j; } a=pow(a,t,p);//a^t if(a==0) return b==0?1:-1; for(int i=0;i<=t;i++){ int val=power(a,i,p);//(a^t)^i int j=Hash.find(val)==Hash.end()?-1:Hash[val]; if(j>=0 && i*t-j>=0) return i*t-j; } return -1; }

矩阵快速幂

• 以下情况可以考虑用矩阵快速幂优化。把长为n的一维向量称为“状态矩阵”，把用于与“状态矩阵”相乘的固定不变的矩阵A称为“转移矩阵”。若状态矩阵中的第x个数对下一单位时间状态矩阵中的第y个数产生影响，则把转移矩阵的第x行第y列赋予适当的系数。时间复杂度为O(n^3logT)，其中n为状态矩阵长度（一般不会很大），T为递推次数。
  • 可以抽象出一个长度为n的一维向量，该向量在每个单位时间发生一次变化。
  • 变化的形式是一个线性递推（只有若干“加法”或“乘一个系数”的运算）。
  • 该递推是在每个时间可能作用于不同的数据上，但本身保持不变。
  • 向量变化时间（即递推次数）很长，但向量长度n不大。

高斯消元

• 将增广矩阵化为简化阶梯形矩阵求解线性方程组。
• 若高斯消元后，存在系数全为0，常数不为0的行，则方程无解；若系数不全为0的行恰好有n个，则说明主元有n个，方程组有唯一解；若系数不全为零的行有k < n个，则说明主元有k个，自由元有n-k个，方程组有无穷多个解。
• 具体写法

线性空间

• 生成子集：给定若干个a1,a2,a3….ak，若向量b能由它们经过向量加法和标量乘法表示，称向量b能被a1,a2…ak张成。显然，a1,a2…an能张成出的所有向量构成一个线性空间，a1,a2…ak被称为这个线性空间的生成子集。
• 线性相关与线性无关：任意选择出线性空间中的若干个向量，如果其中存在一个向量能被其他向量张成，则这些向量线性相关，否则称这些向量线性无关。
• 基底：线性无关的生成子集被称为线性空间的基底，简称基。基的另一种定义是线性空间的极大线性无关子集。一个线性空间的所有基包含的向量个数都相等，这个数被称为线性空间的维数。
• 矩阵秩：所有行向量能张成的所有向量构成一个线性空间，这个线性空间的维数被称为矩阵的“行秩”，同理我们可以知道“列秩”，显然行秩等于列秩，都被称为矩阵的秩。在高斯消元后，显然简化阶梯形矩阵的所有非零行向量线性无关。于是，简化阶梯形矩阵的所有非零行向量就是该线性空间的一个基，非零行向量的个数就是矩阵的秩。

• 线性基：这里特指异或空间的基。即给定一个线性空间，求出线性基后就可表示出这个线性空间所有的元素。
  • 给定n个0~2^m-1个整数a1,a2…an，如何求他们的线性基？我们把每个数看成m位二进制数，写成一个n行m列的01矩阵，矩阵中第i行从左到右依次是ai的第m-1,m-2…1,0位（二进制最低位）。把矩阵高斯消元即可。
  • 具体求法：起初简化阶梯矩阵想x[]为全0，x[i]表示矩阵中第一个令在第i位的元素，每插入一个数ai时，扫描ai的二进制位k，如果第k位所对应的列没有元素，则令x[k]=ai；如果第k列有元素，则令ai^=x[i]，然后继续扫描ai后面的二进制位。
  • 显然，ai进行插入操作后，要么进入线性基，要么被异或为0，说明已经可以被基中向量张成。证明：x1^x2…^xm=ai => x1^x2^…^xm^ai=0。
  • 得到线性基后，假如线性基大小为t，那么我们可以用这些元素张成出2^t个去重异或集合，这个集合也是原异或空间选择任意个向量能张成出的最大集合（不包括0）。此外，不去重异或集合中，每个数出现2^(n-t)次。其中，最大的异或和就是将线性基中所有位都异或起来得到的结果，而最小的异或和就是线性基中的最后一个非零元素或0。
    当t < n时异或空间可异或出0。
  • 异或和第k小：若异或空间可异或出0，那么我们要求低k-1小的元素，因为线性基无法张成0。我们把k-1进行二进制分解，如果k-1的第j位等于1，就选取x[t-j]，最后选出的x异或起来就得到了答案。特别的，若k>2^t，则无解。
  • 例题

组合数

• 求法：
  • 利用C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)的性质可以递推求出0<=y<=x<=n的所有组合数C(x,y)，复杂度为O(N^2);
  • 组合数结果一般较大，如果题目要求出C(n,m)对一个数p取模后的值，并且1~n都存在模p的乘法逆元，则可以先计算n! mod p，再计算分母m!(n-m)! mod p的逆元，乘起来得到C(n,m) mod p，复杂度为O(n);
  • 若在计算阶乘过程在把0<=k<=n的每个k! mod p及逆元分别保存在两个数组jc和jc_inv中，则可在O(nlgn)的预处理后，以O(1)的时间回到0<=y<=x<=n的所有组合数C(x,y) mod p=jc[x]·jc_inv[y]·jc_inv[x-y] mod p。

• 二项式定理：(ax+by)^n=(k=0->n)∑C(n,k)·a^k·b^(n-k)·x^k·y^(n-k)
• 多重集的排列数：多重集是的包含重复元素的广义集合。设S={n1·a1,n2·a2,…,nk·ak}是由n1个a1,n2个a2…nk个ak组成的多重集。S的全排列个数为：n!/(n1!·n2!·n3!·…·nk!)。
• 多重集的组合数：设r<=min(ni)(i∈[1,k])，从S中取出r个元素组成一个多重集（不考虑元素的顺序），产生的不同多重集的数量为：C(k+r-1,k-1)
• 卢卡斯定理:对任意正整数1<=m<=n，有C(n,m)≡C(n mod p,m mod p) · C(n/p,m/p) (mod p)。即将n和m表示为p进制数，对p进制下的每一位分别计算组合数，最后再乘起来。

• 卡特兰数：给定n个0和n个1，它们按照某种顺序排成长度为2n的序列，满足任意前缀中0的个数都不少于1的个数的序列的数量为：Catn=C(2n,n)/(n+1)。以下问题都与Catalan数有关：
  • n个左括号和n个右括号组成的合法括号序列的数量为Catn
  • 1,2,..,n经过一个栈，形成的合法出栈序列的数量为Catn
  • n个节点构成的不同二叉树的数量为Catn
  • 在平面直角坐标系上，每一步只能向上或向右走，从(0,0)走到(n,n)并且出两个端点外不接触直线y=x的路线数量为2Cat(n-1)

容斥原理

• 设S1,S2,S3…Sn为有限集合，|S|表示集合S的大小，则：|∪Si|=∑|Si|-∑|Si ∩ Sj|+∑|Si ∩ Sj ∩ Sk|-∑|Si ∩ Sj ∩ Sk ∩Sl|+…+(-1)^(n+1)|S1 ∩ S2 ∩…∩ Sn|。
• 多重集的组合数:设S={n1·a1,n2·a2,…,nk·ak}。设n=∑ni，对于任意整数r<=n，从S中取出r个元素组成一个多重集（不考虑顺序），产生的不同多重集的数量为：C(k+r+1,k-1)-∑C(k+r-ni-2,k-1)+∑C(k+r-ni-nj-3,k-1)-...+(-1)^k·C(k+r-∑ni-（k+1）,k-1)
• Devu与鲜花:Devu有N个盒子，第i个盒子中有Ai枝花。同一个盒子内的花颜色相同，不同盒子内的花颜色不同。Devu要从这些盒子中选出M枝花组成一束，求共有多少种方案。若两束花每种颜色的花的数量都相同，则认为这两束花是相同的方案。结果需对109+7取模之后方可输出。此题等价于多重集S中选出M个原色能产生的不同多重集的数量。

莫比乌斯函数

• 将N分解质因数N=p1^c1·p2^c2·p3^c3…pm^cm。当N包含相等的质因子时，μ(N)=0；当N的所有质因子各不相同时，若N有偶数个质因子，μ(N)=1，若N有奇数个质因子，μ(N)=-1。
• 若只求一项莫比乌斯函数，则分解质因数即可计算。若求1~N的每一项莫比乌斯函数，可以用埃拉托斯特尼筛法计算：把所有μ值初始化为1。接下来，对于筛出的每个质数p，令μ(p)=-1，并扫描p的倍数x=2p,3p,…(n/p)·p，检查x能否被p^2整除。若能，则令μ(x)=0，否则令μ(x)=-μ(x)。
• 莫比乌斯反演：若g(x)=∑f(d),其中x|d，则f(x)=∑μ(d/x)*g(d)，其中x|d

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  for(int i=1;i<=n;i++) miu[i]=1,v[i]=0; for(int i=2;i<=n;i++){ if(v[i]) continue; miu[i]=-1; for(int j=2*i;j<=n;j+=i){ v[j]=i; if((j/i)%i==0) miu[j]=0; else miu[j]*=-1; } }

概率与数学期望

• 性质：数学期望是线性函数，满足E(aX+bY)=a*E(X)+b*E(Y)。此性质非常重要，是我们能都对数学期望进行递推求解的基本依据。如：掷一个骰子的期望E(x)=(1+2+3+4+5+6)/6=3.5。掷两个骰子的点数可以表示为随机变量2X，于是E(2x)=2E(x)=7;

概率论与SG函数

• NIM博弈：给定n堆物品，第i堆中有Ai个物品，两名玩家轮流行动，每次从某一堆中取走若干个物品，可以全拿，但是不能不拿。拿走最后一件物品者获胜，两人取最优策略，问能否先手必胜。
  • 先手必胜，当且仅当A1 xor A2 xor A3… xor An 不为0。
  • 证明：如果A1 xor A2 xor…xor An=x!=0，设x的二进制位表示下最高位的1在第k位，那么至少存在一堆石子Ai，它的第k位是1。显然Ai xor x < Ai,从Ai中拿走一部分石子，使得Ai=Ai xor x，就得到了一个各堆石子数异或和为0的局面。对于任意一个石子数异或和为0的局面，无论怎么拿，异或和都不等于0，即必败。
• 公平组合游戏ICG：若一个游戏满足一下条件则称其为公平组合游戏。NIM博弈属于公平组合游戏。
  • 由两名玩家交替行动
  • 在游戏进程的任意时刻，可以执行的合法行动与轮到哪名玩家无关
  • 不能行动的玩家判负
• 有向图游戏：给定一个有向无环图，图中有唯一起点，在起点上放一枚棋子。两名玩家交替地把这枚棋子沿着有向边进行移动，每次可以移动一步，无法移动者负。任何一个公平组合游戏都可以转化为有向图游戏。具体方法：把每个局面看成图中的一个节点，并且每个局面沿着合法行动能到达的下一个局面连有向边。
• Mex运算：设S表示一个非负整数集合。定义mex(S)为求出不属于集合S的最小非负整数的运算。
• SG函数：在有向图游戏中，对于每个节点x，设从x出发共k条有向边，分别到达节点y1,y2,y3…yk，定义SG(x)为x的后继节点y1,y2…yk的SG函数值构成的集合再执行mex运算的结果，即：SG(x)=mex({SG(y1),SG(y2)...SG(yk)})。整个有向图G的SG函数值被定义为有向图游戏起点s的SG函数值，即SG(G)=SG(s)。

• 有向图游戏的和：设G1,G2…Gm是m个有向图游戏。定义有向图游戏G，它的行动规则是任选某个有向图游戏Gi，并在Gi上行动一步。G被称为有向图游戏G1,G2,G3…Gn的和。有向图游戏的和的SG函数值等于它包含的各个字游戏SG函数值得异或和，即：SG(G)=SG(G1) xor SG(G2)...xor SG(Gm)。
• 例题：剪纸游戏