牛牛爱66

今天面试了一道算法题，这到算法题我写的有问题，我在这里记录一下。

众所周知，牛牛不喜欢6这个数字（因为牛牛和66发音相近）所以他想知道，不超过n位十进制数中有多少个数字不含有连续的6（从1开始算的）

输入只包含一个正整数n（1<=n<20），输出一个整数，表示不超过n位十进制数中有多少个数字不含有连续的6。

比如输入1，输出10: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 这十个数字中都满足条件

输入2，输出99，因为只有66不满足条件。

 

分析：

我是用动态规划的方式来写的，首先对于n位数，如果能求出来有多少个数字含有连续6，那么用10^（n） - 这个数字 就可以。

我最开始的思路是有点问题的，在这里记录一下：

假设dp[n]表示的是n位数字的包含连续6的数字总数。那么对于n+1位数来说，相当于在n位数前面加了一位数。假设从xxx变成了axxx(a是新加的最高位数)。我们考虑两种情况，第一种，a!=6的情况：那么当a不是6的时候，相当于这a可以取12345789（6不能取,0也不能取，因为是n+1位数），在这些情况中，原本n位数中有多少连续6的数字，新增了一个不是6的高位数，肯定是不影响结果的，所以首先有dp[n + 1] 首先肯定包括 8*dp[n]。 然后考虑 a = 6的情况：当a= 6时候，考虑次高位也就是第n位数：当次高位是6的时候，那么之后的低位数字无论怎么变，都满足连续6的数字，因为最高位和次高位都是6. 所以还包括了10 ^(n - 1); 当次高位不是6的时候，那么就需要看n-1位数中连续6的数字的个数了（也就是比如说60xx）这种情况中xx所有可能情况中6的个数，而这种情况下的个数应该是9*dp[n - 1]. 所以总的递推关系是 dp[n + 1] = 8 * dp[n] + 9 * dp[n - 1] + 10^(n - 1).

结果最后的结果并不符合面试官的要求，递推公式有问题。面试之后我也一直在想到底是哪里出了问题，现在才想明白。实际上我们要求的是n位数中包括的连续6的数字，而n位数包括了n-1位数，n-2位数等等。什么意思呢，就是说比如60066这个数字是5位数中符合条件的，那么66也算是5位数中符合条件的。具体在递推公式中，也就是当高位不是6的情况下，不仅仅是12345789，而且0也行，当n+1位数为0的时候，这说明是为了添加某一个位数小于n+1的满足条件的数字了。所以实际上递推公式应该是：dp[n + 1] = 9 * dp[n] + 9 * dp[n - 1] + 10^(n - 1). 递归起始条件是dp[1] = 0, dp[2] = 1. 

因为一道题而挂掉了面试，权当在此记录一下自己辛酸的历程吧。