图论及其应用-哈密尔顿图(alpha)

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图论及其应用-哈密尔顿图(alpha)

 

小结：2010-04。。todo 没有粘贴公式。

1重要的概念是 闭包。

注意 ppt定义4

2重点汇总与 闭包定理

3其他的2个定理对比：（第一阶级：是不是两个反面）

一个是

 存在 不相邻的点u , v, 围绕 du + dv >=n; G 是H图，那么G+uv也是H图（66：增边）

                      满足du + dv >=n 都有u,v相邻，那么G是闭包、

 

本次课主要内容

(一)、哈密尔顿图的概念

(二)、性质与判定

哈密尔顿图

     1、背景

(一)、哈密尔顿图的概念

    1857年， 哈密尔顿发明了一个游戏(Icosian Game).它是由一个木制的正十二面体构成，在它的每个棱角处标有当时很有名的城市。游戏目的是“环球旅行”。为了容易记住被旅游过的城市 ，在每个棱角上放上一个钉子，再用一根线绕在那些旅游过的城市上(钉子),由此可以获得旅程的直观表示。

     哈密尔顿(1805---1865),爱尔兰数学家。个人生活很不幸，但兴趣广泛：诗歌、光学、天文学和数学无所不能。他的主要贡献是在代数领域，发现了四元数(第一个非交换代数)，他认为数学是最美丽的花朵。

    哈密尔顿把该游戏以25英镑的价格买给了J.Jacques and Sons公司 (该公司如今以制造国际象棋设备而著名) ，1859年获得专利权。但商业运作失败了。

    该游戏促使人们思考点线连接的图的结构特征。这就是图论历史上著名的哈密尔顿问题。

     2、哈密尔顿图与哈密尔顿路

     定义1 如果经过图G的每个顶点恰好一次后能够回到出发点，称这样的图为哈密尔顿图，简称H图。所经过的闭途径是G的一个生成圈，称为G的哈密尔顿圈。

    例1、正十二面体是H图。

     例2 下图G是非H图。

     证明：因为在G中，边uv是割边，所以它不在G的任意圈上，于是u与v不能在G的同一个圈上。故G不存在包括所有顶点的圈，即G是非H图。

     定义2 如果存在经过G的每个顶点恰好一次的路，称该路为G的哈密尔顿路，简称H路。

(二)、性质与判定

     1、性质

     定理1 (必要条件) 若G为H图，则对V(G)的任一非空顶点子集S，有：

 

     证明：G是H图，设C是G的H圈。则对V(G)的任意非空子集S, 容易知道:

 

     所以，有：

 

     注：不等式为G是H图的必要条件，即不等式不满足时，可断定对应图是非H图。

     例3 求证下图是非H图。

     证明：取S=｛2, 7, 6｝,则有：

 

     所以由定理1知，G为非H图。

      注意：满足定理1不等式的图不一定是H图。

      例如：著名的彼德森图是非H图，但它满足定理1的不等式。

     彼得森(1839----1910)，丹麦哥本哈根大学数学教授。家境贫寒，因此而辍过学。但19岁就出版了关于对数的专著。他作过中学教师，32岁获哥本哈根大学数学博士学位，然后一直在该大学作数学教授。

     彼得森是一位出色的名教师。他讲课遇到推理困难时，总是说：“这是显而易见的”，并让学生自己查阅他的著作。同时，他是一位有经验的作家，论述问题很形象，讲究形式的优雅。

     1891年，彼得森发表了一篇奠定他图论历史地位的长达28页的论文。这篇文章被公认是第一篇包含图论基本结论的文章。同时也是第一次在文章中使用“图”术语。

     1898年，彼得森又发表了一篇只有3页的论文，在这篇文章中，为举反例构造了著名的彼得森图。

     2、判定

      图的H性判定是NP-困难问题。到目前为止，有关的定理有300多个，但没有一个是理想的。拓展H图的实用特征仍然被图论领域认为是重大而没有解决的问题。

     图的哈密尔顿问题和四色问题被谓为挑战图论领域150年智力极限的总和。三位数学“诺奖”获得者ErdÖs、Whitney 、 Lovász 以及Dirac、Ore等在哈密尔顿问题上有过杰出贡献。

     下面，介绍几个著名的定理。

     定理2 (充分条件) 对于n≧3的单图G，如果G中有：

 

     那么G是H图。

     证明: 若不然，设G是一个满足定理条件的极大非H简单图。显然G不能是完全图，否则，G是H图。

     于是，可以在G中任意取两个不相邻顶点u与v。考虑图G + u v，由G的极大性，G+ u v是H图。且G+ u v的每一个H圈必然包含边u v。

     所以，在G中存在起点为u而终点为v的H路P。

     不失一般性，设起点为u而终点为v的H路P为：

 

     令：

 

 

     对于S与T, 显然，

     另一方面：可以证明：

 

 

     所以：

 

     否则，设                     

 

     那么，由

 

     由

 

     这样在G中有H圈，与假设矛盾！

     于是：

     这与已知                     矛盾！

 

     注：该定理是数学家 Dirac在1952年得到的。该定理被认为是H问题的划时代奠基性成果。

 

     Dirac曾经是丹麦奥尔胡斯大学知名教授，杰出的数学研究者。其父亲(继父)是在量子力学中做出卓越贡献的物理学家狄拉克，1933年获诺贝尔物理学奖。Dirac发表关于H问题论文39篇。他1952年的定理将永载史册！

 

     1960年，美国耶鲁大学数学家奥勒（Ore）院士考察不相邻两点度和情况，弱化了Dirac条件 ，得到一个光耀千秋的结果。

       Ore发表关于H问题论文59篇。

     定理3 (充分条件) 对于n≧3的单图G，如果G中的任意两个不相邻顶点u与v，有：

 

       那么，G是H图。

       注: (1) 该定理证明和定理2可以完全一致！

       (2) 该定理的条件是紧的。例如：设G是由Kk+1的一个顶点和另一个Kk+1的一个顶点重合得到的图，那么对于G

 的任意两个不相邻顶点u与v，有：

 

     但G是非H图。

      1976年，牛津大学的图论大师Bondy(帮迪)等在Ore定理基础上，得到图G和它的闭包间的同哈密尔顿性。

     注：帮迪的书《图论及其应用》是一本经典必读教材。有中译本和习题解答。吴望祖译 。

     引理1 对于单图G，如果G中有两个不相邻顶点u与v，满足：

 

     那么G是H图当且仅当G + u v是H图。

     证明：“必要性” 显然。

    “充分性”

     若不然，设G是非H图，那么G+uv的每个H圈必然经过边uv, 于是G含有一条哈密尔顿(u ,v)路。

     与定理2的证明相同，可推出：

     定义3 在n阶单图中，若对d (u) + d (v) ≧n 的任意一对顶点u与v，均有u a dj v , 则称G是闭图。

     引理2 若G1和G2是同一个点集V的两个闭图，则G=G1∩G2是闭图。

 

     这与条件矛盾！

     证明：任取u, v∈V(G1 ∩ G2)，如果有：

 

   易知：

 

     因G1与G2都是闭图，所以u与v在G1与G2中都邻接，所以，在G中也邻接。故G是闭图。

     注：G1与G2都是闭图，它们的并不一定是闭图。

     例如：

     尽管G1与G2是闭图，但其并不是闭图！

     定义4  称      是图G的闭包，如果它是包含G的极小闭图。

 

     注：如果G本身是闭图，则其闭包是它本身；如果G不是闭图，则由定义可以通过在度和大于等于n的不相邻顶点对间加边来构造G的闭图。例如：

     引理3  图G的闭包是唯一的。

     证明：设       和        是图G的两个闭包，则：

 

 

 

 

     所以，有：

 

     又由引理2知，                 是闭图，且

 

 

     有：

 

     同理：

 

     所以，

 

     定理4(帮迪——闭包定理) 图G是H图当且仅当它的闭包是H图。

     证明：“必要性”显然。

  “充分性” ：假设G的闭包是H图，我们证明G是H图。

   假设G的闭包和G相同，结论显然。

   若不然，设ei (1≦i≦k)是为构造G的闭包而添加的所有边，由引理1，G是H图当且仅当G+e1是H图， G+e1是H图当且仅当G+e1+e2是H图,…, 反复应用引理1，可以得到定理结论。

     由于完全图一定是H图，所以由闭包定理有：

     推论1：设G是n≧3的单图，若G的闭包是完全图，则G是H图。

     由闭包定理也可以推出Dirac和Ore定理：

     推论1：设G是n≧3的单图。

     (1) 若δ(G)≧n/2,则G是H图(Dirac定理);

     (2) 若对于G中任意不相邻顶点u与v，都有d(u)+d(v)≧n,则G是H图.(Ore定理)

     在闭包定理的基础上，Chvátal和帮迪进一步得到图的H性的度序列判定法。

      定理5(Chvátal——度序列判定法) 设简单图G的度序列是(d1,d2,…,dn), 这里，d1≦d2≦…≦dn,并且n≧3.若对任意的mm,或有dn-m ≧ n-m,则G是H图。

     萨瓦达定理的证明方法：证G的闭包是完全图。

     证明：如果G的闭包是Kn，则G是H图。

     否则，设u与v是G的闭包中不相邻接的且度和最大的两点，又假设：

 

     由于     是闭图，u与v 是其中不邻接顶点，所以：

 

 

     于是，若取                      ，则

 

 

     对于这个m, 由于：

 

     所以在G的闭包中至少有m个点与v不邻接。

     由u与v的取法知：与v不邻接的m个点中，u的度数最大。这就意味着：G中至少有m个点的度数不大于m,即：

 

     另一方面，由m的选取，G的闭包中有n-1-m个点与u不相邻接。而这些点中，v的度最大。这意味着：在G的闭包中有n-1-m个与u不邻接的点的度数小于等于v的度数。

     但是，由：

 

     以及u的度数不超过v的度数假设，G的闭包中至少有n-m个点的度不超过n-m,从而在G中至少有n-m个点的度数严格小于n-m,即：

 

     例4  求证下图是H图。

     证明：在G中有：

 

 

 

 

   因n=9,所以，m=1,2,3,4

 

     所以，由度序列判定法，G是H图。

    注 ：哈密尔顿图研究简介

     哈密尔顿问题的研究一直是图论热点。研究历史大致情况如下：

     (1) 1952年Dirac定理是研究的奠基性结果；

     (2) 1962年Ore定理是Dirac定理的重要推进；

     (3) 1976年帮迪的闭包定理是Ore定理的重要推进；

     (4) 1985年时任剑桥大学兼伦敦大学教授的Nicos在弱化Ore定理条件基础上推进了Ore定理；

    (5) 1996年GSU计算机系五个特聘教授之一的Chen和SCI

杂志《图论杂志》编委Egawa及SCI杂志《图论与组合》主编

Saito等再进一步推进Ore定理。

     (6)  2007年, 赖虹建教授统一上面全部结果(见美国Appl.Math.Lett.),似已是珠峰之极.

     值得一提的是，福州大学的 范更华教授对H问题的研究也取得重要成就，他得出“范定理”：

    范定理：若图中每对距离为2的点中有一点的度数至少是

图的点数的一半，则该图存在哈密尔顿圈。

     该成果获得中国2005年度国家自然科学二等奖。

 作业

  P97---99    习题4 ： 10,  12

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