两字符串最长公共子序列--动态规划连续和非连续

史上最全最丰富的“最长公共子序列”、“最长公共子串”问题的解法与思路

https://blog.csdn.net/wangdd_199326/article/details/76464333

 

非连续的最长公共子序列

求两个字符串的最长公共子序列。借用算法导论上的表示方法，给定一个字符串X=（下划线后面的数字表示下标），另一个字符串Y=，求X和Y的最长公共子序列。同时我们用X_i表示X中前i个字符构成的字符串X_i = ，用Y_j表示Y红前j个字符构成的字符串Y_j = 。

现在就想怎么把问题变为为小问题呢？怎么解决这个问题呢？

关键要找到问题的突破口，先不要管最终解决，先想一想怎么吧问题花姐的规模小一些。我先分别拿两个字符串的最后一个字符“开刀”，先拿他们比较

1）我们可以首先比较x_m和y_n如果这两个字符相同，那么x_m = y_n一定是最长公共子序列中的一个字符。那么我们的问题就是求X_(m-1) = 和Y_(n-1) = 的最长公共子序列了。如果能求出X_(m-1)和Y_(n-1)的最长公共子序列，这个子序列在加上字符x_m = y_n就是我们所求问题的最长公共子序列了。

2）如果x_m ！= y_n，我们要求X和Y的最长公共最序列，就转为求两个子问题，一个是求X_m和Y_(n-1)的最长公共子序列，另一个是求X_(m-1)和Y_n的最长公共子序列。取两者中最长的那个就是问题的解。

 

至此，大问题就化为小问题的，具体我们可以写递推公式。

假如用c[i,j]表示X_i和Y_j序列的最大公共子序列的长度的话

c[i,j] = 0 如果i == 0或者j == 0

c[i,j] = c[i - 1][j - 1] 如果x_j == y_j

c[i,j] = max(c[i-1,j], c[i, j-1])   如果x_i ！= y_j

有了递推公式，定义对应递推公式的数组，就可以求得最终的答案。

#include
#include
#include
using namespace std;
 
int max(const int& a, const int& b) {
	return (a > b ? a : b);
}
 
//模板函数用来输出二维数组
template
void print_vector(const vector >& vec) {
	for(size_t i = 0; i != vec.size(); i++) {
		for(size_t j = 0; j != vec[i].size(); j++) {
			cout << vec[i][j] << " ";
		}
		cout << endl;
	}
}
//getLCS函数用来求两个字符串的最大公共子序列，并返回其长度
int getLCS(const string& str1, const string& str2){
	if(str1.empty() || str2.empty()) {
		return 0;
	}
	size_t len1 = str1.size();
	size_t len2 = str2.size();
	
	//lcs用来保存两字符串str1[0,...,row]和str1[0,...,col]的最长公共序列的长度
	vector > lcs(len1 + 1, vector (len2 + 1, 0));
 
	//index用来保存如何找到最长公共子序列
	vector > index(len1 + 1, vector (len2 + 1, '-'));
	for(size_t row = 0; row != len1 + 1; row++) {
		for(size_t col = 0; col != len2 + 1; col++) {
			if(row == 0 || col == 0) {
				lcs[row][col] = 0;
				continue;
			}
			if(str1[row - 1] == str2[col - 1]) {
				lcs[row][col] = lcs[row - 1][col - 1] + 1;
				index[row][col] = '=';
			}
			if(str1[row - 1] != str2[col - 1]) {
				//lcs[row][col] = max(cls[row - 1][col], cls[row][col - 1]);
				if(lcs[row - 1][col] > lcs[row][col - 1]) {
					lcs[row][col] = lcs[row - 1][col];
					index[row][col] = 'u';
				}
				else {
					lcs[row][col] = lcs[row][col - 1];
					index[row][col] = 'l';
				}
			}
		}
	}
	cout << "lcs vector is " << endl;
	print_vector(lcs);
	cout << "index vector is " << endl;
	print_vector(index);
	return lcs[len1][len2];
}
 
int main(void)
{
	string str1, str2;
	cin >> str1 >> str2;
	int len = 0;
	len = getLCS(str1, str2);
	cout << "最长公共子序列的长度是：" << len << endl;
	return 0;
}

 

 两个字符串最长连续公共序列

 

如下两个字符串,公共连续字符串为abcdf，求出这个abcdf，

"aaffffsfabcdfasf", "aaaadfsabcdfsdb"

 

假设字符串长度分别为m,n，这个题有个m*n*min(m,n)复杂度的方法，这个方法比较慢，暂时不考虑。

另一个种方法是动态规划：

设置二维数组dp[][], dp[i][j]==0表示第一个字符串的第i个字符与第二个字符串的第j个字符不相等，dp[i][j]!=0表示第一个字符串的第i个字符与第二个字符串的第j个字符串相等，并且，如果dp[i][j]==k，不仅当前字符相等，前面k-1个也相等，也就是dp的公式为dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1。最终二维矩阵的结果如下所示（随机写的）：

00010010

01000000

00201000

01030010

11014101

代码如下：

//求两个字符串的最大公共字串
	public String longestSerialSubstring(String s1,String s2){
		String res = "";
		
		int m = s1.length(),n = s2.length();
		int[][] dp = new int[m][n];
		
		int max = 0;
		int index = 0;
		
		for(int i=0;imax){
						max = dp[i][j];
						index = i;
					}
				}
			}
		}
		res = s1.substring(index-max+1,index+1);
		return res;
	}