分治法时间复杂度求解：主定理、代换法和递归树

分治策略：

分解：将原问题划分成形式相同的子问题，规模可以不等，对半或2/3对1/3的划分。

解决：对于子问题的解决，很明显，采用的是递归求解的方式，如果子问题足够小了，就停止递归，直接求解。

合并：将子问题的解合并成原问题的解。

这里引出了一个如何求解子问题的问题，显然是采用递归调用栈的方式。因此，递归式与分治法是紧密相连的，使用递归式可以很自然地刻画分治法的运行时间。所以，如果你要问我分治与递归的关系，我会这样回答：分治依托于递归，分治是一种思想，而递归是一种手段，递归式可以刻画分治算法的时间复杂度。所以就引入本文的重点：如何解递归式？

解递归式的三种方法：主定理、递归树和代换法。

主定理：

扩展：简化版：

递归树法：

起因：代换法有时很难得到一个正确的好的猜测值。
用途：画出一个递归树是一种得到好猜测的直接方法。
分析(重点)：在递归树中，每一个结点都代表递归函数调用集合中一个子问题的代价。将递归树中每一层内的代价相加得到一个每层代价的集合，再将每层的代价相加得到递归式所有层次的总代价。
总结：递归树最适合用来产生好的猜测，然后用代换法加以验证。
递归树的方法非常直观，总的代价就是把所有层次的代价相加起来得到。但是分析这个总代价的规模却不是件很容易的事情，有时需要用到很多数学的知识。

例子：快排9:1划分（算法导论）

代换法：

定义：先猜测某个界的存在，再用数学归纳法去证明该猜测的正确性。
缺点：只能用于解的形式很容易猜的情形。
总结：这种方法需要经验的积累，可以通过转换为先前见过的类似递归式来求解。

例子：