数学建模（4）拟合算法

数学建模（4）拟合算法

和插值比较

插值经过所有样本点，多项式次数过高，可能会有龙格现象，结果可能比较复杂。

拟合与样本点足够接近，得到确定的曲线，结果比较简单。

最小二乘法

例如是个直线，使用$y=kx+b$

$$k,b=argmin(\sum _{i=1}^n(y_i-y_i{)}^2)$$

也可以不使用平方，使用绝对值，但是求导会很头疼。

损失函数$L$,在回归中称为残差平方和

$$L=\sum _{i=1}^n(y_i-k{x}_i-b{)}^2$$

推导过程略，我也没推

$$k=\frac{n{\sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i-{\sum }_{i=1}^n{y}_i{\sum }_{i=1}^n{x}_i}{n{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2-{\sum }_{i=1}^n{x}_i{\sum }_{i=1}^n{x}_i}$$

$$b=\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2{\sum }_{i=1}^n{y}_i-{\sum }_{i=1}^n{x}_i{\sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i}{n{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2-{\sum }_{i=1}^n{x}_i{\sum }_{i=1}^n{x}_i}$$

拟合优度$R^2$

总体平方和
$$SST=\sum _{i=1}^n(y_i-\overline{y}{)}^2$$

误差平方和
$$SSE=\sum _{i=1}^n(y_i-y{)}^2$$

回归平方和
$$SSR=\sum _{i=1}^n(y_i-\overline{y}{)}^2$$

可以证明
$$SST=SSE+SSR$$

$$R^2=\frac{SSE}{SSR}=\frac{SST-SSE}{SSR}=1-\frac{SSE}{SST}$$

$R^2$只能用于拟合函数是线性函数时结果的评价（下面一部分会说）

$R^2$越接近1，误差平方月接近$0$，拟合效果越好。

这里可以看出来SSE越小越好，但是为了找一个小的标准，所以找了SST，这里就很容易理解$R^2$了。

如果有些不是线性函数，可以直接使用SSE来判断拟合结果。

#这个函数是求平均值的函数
mean();

理解线性函数

前面说：$R^2$只能用于拟合函数是线性函数时结果的评价

原因很容易理解，看$R^2$的公式来源就能明白，但是需要理解一下线性函数的含义，来更好地判断线性函数。

对于参数来说是线性，不是对于变量来说。

$y=a+b{x}^2$也算是a和b对于$x^2$的线性函数

$y=e^{a+bx}$也算是a和b对于x的线性函数（把lny看作一个因变量就可以了）

参数只以一次方出现，且不会与其他参数乘除，不出现参数的符合函数就可以算。

$y=a+b^{2}x$不算线性函数

$y=asin(b+cx)$不算

Matlab曲线拟合工具箱

哇，这个工具箱真的我们去年电赛就开始用了，那时候我真菜（虽然现在也是很菜）

在Matlab->APP->curve fitting打开

也可以命令行输入cftool打开

数据区域、拟合区域、结果区域

左上角还可以直接生成代码，还可以保存图像。（不得不服matlab贼牛逼）

这代码改一下直接附录了。

如果一些复杂的函数拟合效果不好，可以更改option里面的初始值，达到一个好一些的结果。