线切割平面问题

直线切割平面

当一个平面上没有直线的时候，可以看成被分成了1份；

有1条直线的时候，没有结点，多了1部分；

有2条直线的时候，多了1个节点，多了2部分；

有3条直线的时候，多了2个节点，多了3部分；

······

第n条直线	0	1	2	3	4
增加节点数	0	0	2	3	4
增加区域数	1	1	2	3	4

 

也可以理解为当添加第i条直线的时候，最多可以穿过i-1条直线，将新的直线分成i份，而这i份可以将i个部分分成2i份，也就是多了i各部分。

 

于是，a[i]=a[i-1]+i;

      a[0]=1;

数学公式可以写为f(n) =1+1+2+3+4+···+i

                  =i*（i+1）/2+1

 

 

V型折线切割平面

(1)第一种思路

 

折线个数	0	1	2	3
增加节点数	0	0	4	8
增加部分数	1	1	5	9

 

因为折线的原因，每次添加折线的时候有折点的那部分不会增加分割部分，也就是有几个节点就会多出几个部分，而且和折点部分还会再多出一个，也就是

a[i]=2*2*(i-1)+1+a[i-1];

a[0]=1;

数学公式

第n条折线增加2*2*(i-1)+1，

第n条折线是分割的部分为f(n)=（1+4*n-3）*n/2+1=2n^2-n+1。

 

（2）第二种思路

把折线看成两条相交的直线，而每次增加直线的时候都会因为折点而少2个分割部分，于是第i条折线时，f(n)=2i（2i+1）/2-2i+1=2n^2-n+1.

 

闪电型折线切割平面

与上述内容基本相同，第一种思路a[i]=a[i-1]+9(i-1)+1;a[0]=1;数学公式f(n)=(9(i-1)+2)*n/2+1

第二种思路f(n)=3n(3n+1)/2-5n+1

 

封闭曲线切割平面

因为是封闭曲线，每次切割时要与之前所有的曲线相交，也就是第i个曲线会与i-1个封闭曲线相交，有2（i-1）个交点，多产生2（i-1）个分割部分。

a[i]=a[i-1]+2*(i-1)

a[0]=1

a[1]=2

数学公式f(n)=2*(n-1)*n/2+2

         =n^2-n+2

三角形切割平面

因为是封闭曲线，每次切割时要与之前所有的曲线相交，也就是第i个曲线会与i-1个封闭曲线相交，有2（i-1）个交点，多产生2（i-1）个分割部分。

a[i]=a[i-1]+2*3*(i-1)

a[0]=1

a[1]=2

数学公式f(n)=2*(n-1)*n/2+2

         =3*n^2-3*n+2

平面切割空间

第i个平面切割i-1个平面，最多与i-1个平面相交，产生i-1条交线，一个平面将原有空间分成两个部分，增加一个新的部分，由前面的结论可知，i-1条交线会将这个平面分成

i*（i-1）/2+1份，于是可知，第i个平面会增加i*（i-1）/2+1部分的空间。记b[i]=i*（i-1）/2+1;a[i]=a[i-1]+b[i];a[0]=1;b[0]=0;a[1]=2;b[1]=1;a[2]=4;b[2]=2;

数学公式为f(n)=(2*1+3*2+4*3+···+i*(i-1))/2+(i-1)+2==(i^3+5i)/6+1