2017年哈工大数理逻辑B期末考试参考答案(1)

$一、求公式(\neg p\to q)\to (q\to r)的主合取范式和主析取范式。（10分）$
$真值表如下：$

p	q	r	$\neg p$	$\neg p\to q$	$q\to r$	$(\neg q\to q)\to (q\to r)$
0	0	0	1	0	1	1
0	0	1	1	0	1	1
0	1	0	1	1	0	0
0	1	1	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	1
1	0	1	0	1	1	1
1	1	0	0	1	0	0
1	1	1	0	1	1	1

$主合取范式为(p\vee \neg q\vee r)\wedge (\neg p\vee \neg q\vee r)$
$主析取范式为(\neg p\wedge \neg q\wedge \neg r)\vee (\neg p\wedge \neg q\wedge r)\vee (\neg p\wedge q\wedge r)\vee (p\wedge \neg q\wedge \neg r)\vee (p\wedge \neg q\wedge r)\vee (p\wedge q\wedge r)$
$二、{用}^{\prime }{\downarrow }^{\prime }等价表示公式(p\to q)\to \neg r。（10分）$
$$\begin{array}{rl}(p\to q)\to \neg r& ⟺\neg (\neg p\vee q)\vee \neg r\\ & ⟺(\neg p\downarrow q)\vee \neg r\\ & ⟺((\neg p\downarrow q)\downarrow \neg r)\downarrow ((\neg p\downarrow q)\downarrow \neg r)\\ & ⟺(((p\downarrow p)\downarrow q)\downarrow (r\downarrow r))\downarrow (((p\downarrow p)\downarrow q)\downarrow (r\downarrow r))\end{array}$$
$三、设A,B为FC中任意公式，举例说明A\to B{⊢}_{FC}\forall vA\to \forall vB不一定成立。（5分）$
$根据演绎定理，原公式等价于{⊢}_{FC}(A\to B)\to (\forall vA\to \forall vB)$
$构造如下解释$
$A,B中变元均为v,论域D=\{0,1\},\bar{A},\bar{B}:D\to \{T,F\}$
$A(0)=T,A(1)=T,B(0)=T,B(1)=F,\bar{v}=0$
$将此解释带入得$
$$\begin{array}{rl}(\bar{A}(\bar{v})\to \bar{B}(\bar{v}))\to (\forall v\bar{A}\to \forall v\bar{B})& =(T\to T)\to (T\to F)\\ & =T\to F\\ & =F\end{array}$$
$由此可得，在此解释下，该公式不成立。$
$四、分别{用}^{\prime }{\uparrow }^{\prime }{和}^{\prime }{\downarrow }^{\prime }等价表示公式\neg (p\wedge \neg q)\wedge (q\wedge r)$
$首先将公式化简$
$$\begin{array}{rl}\neg (p\wedge \neg q)\wedge (q\wedge r)& ⟺(\neg p\vee q)\wedge (q\wedge r)\\ & ⟺(\neg p\wedge q\wedge r)\vee (q\wedge r)\\ & ⟺q\wedge r\end{array}$$
${用}^{\prime }\uparrow 表{示}^{\prime }$
$$\begin{array}{rl}\neg (p\wedge \neg q)\wedge (q\wedge r)& ⟺q\wedge r\\ & ⟺(q\uparrow r)\uparrow (q\uparrow r)\end{array}$$
$用‘\downarrow ’表示$
$$\begin{array}{rl}\neg (p\wedge \neg q)\wedge (q\wedge r)& ⟺q\wedge r\\ & ⟺\neg (\neg q\vee \neg r)\\ & ⟺\neg q\downarrow \neg r\\ & ⟺(q\downarrow q)\downarrow (r\downarrow r)\end{array}$$
$五、在命题逻辑演算系统PC中证明：（20分）$
$(1)⊢\neg C\to (\neg B\to \neg (\neg B\to C))$
$1.(\neg B\to C)\to (\neg C\to B)逆否$
$2.((\neg B\to C)\to (\neg C\to B))\to (\neg C\to ((\neg B\to C)\to B))前件互换定理$
$3.\neg C\to ((\neg B\to C)\to B)1,2r_{mp}$
$4.((\neg B\to C)\to B)\to (\neg B\to \neg (\neg B\to C))逆否$
$5.\neg C\to (\neg B\to \neg (\neg B\to C))3,4三段论$
$(2)⊢((A\to (B\to C))\to A)\to A$
$1.\neg A\to (A\to (B\to C))定理3.1.3$
$2.\neg (A\to (B\to C))\to A1逆否$
$3.A\to A定理3.1.1$
$4.(\neg (A\to (B\to C))\to A)\to ((A\to A)\to (((A\to (B\to C))\to A)\to A))定理3.1.14$
$5.((A\to (B\to C))\to A)\to A2,3,4r_{mp}$
$(3)⊢(A\to (B\to \neg C))\to (C\to (A\to \neg B))$
$1.\neg A\to (A\to (C\to \neg B))定理3.1.3$
$2.(A\to (C\to \neg B))\to (C\to (A\to \neg B))前件互换定理$
$3.\neg A\to (C\to (A\to \neg B))1,2三段论$
$4.(B\to \neg C)\to (C\to \neg B)逆否$
$5.(C\to \neg B)\to (A\to (C\to \neg B))A1$
$6.(B\to \neg C)\to (A\to (C\to \neg B))4,5三段论$
$7.(B\to \neg C)\to (C\to (A\to \neg B))2,6三段论$
$8.(\neg A\to (C\to (A\to \neg B)))\to (((B\to \neg C)\to (C\to (A\to \neg B)))\to ((A\to (B\to \neg C))\to (C\to (A\to \neg B))))定理3.1.14$
$9.(A\to (B\to \neg C))\to (C\to (A\to \neg B))3,7,8r_{mp}$
$(4)((\neg A\to B)\to C)\to D,\neg D\to \neg B,\neg A⊢D$
$1.(B\to D)\to ((((\neg A\to B)\to C)\to D)\to ((\neg B\to ((\neg A\to B)\to C))\to D))定理3.1.14$
$2.(\neg D\to \neg B)\to (B\to D)A3$
$3.\neg D\to \neg B前提$
$4.B\to D2,3r_{mp}$
$5.((\neg A\to B)\to C)\to D前提$
$6.\neg A\to (A\to (B\to \neg C))定理3.1.3$
$7.\neg A前提$
$8.A\to (B\to \neg C)6,7r_{mp}$
$9.B\to (\neg B\to C)定理3.1.3$
$10.(A\to (B\to \neg C))\to ((B\to (\neg B\to C))\to ((\neg A\to B)\to (\neg B\to C)))定理3.1.14$
$11.(\neg A\to B)\to (\neg B\to C)8,9,10r_{mp}$
$12.((\neg A\to B)\to (\neg B\to C))\to (\neg B\to ((\neg A\to B)\to C))前件互换定理$
$13.\neg B\to ((\neg A\to B)\to C)11,12r_{mp}$
$14.D1,4,5,13r_{mp}$