电子电路：差分放大器分析

1. 差分放大器与共模抑制比

1.1差分放大器

差分放大器有两个输入端和一个输出端，它可以获取两个输入电压之间的差值，并将这个差值放大后送到输出端，差分放大器的模型如下：

输入电压$v_{i1},v_{i2}$与输出$v_o$的关系为：
$$v_o=A_d(v_{i1}-v_{i2})$$
其中$A_d$是差分放大器的放大倍数

对于一个理想的差分放大器，如果一个信号同时加给放大器的两个输入端，则$v_{i1}=v_{i2}\to v_o=0$
这种同时出现在两个输入端的信号叫做共模信号（common mode signal）

可惜的是，实际中的共模信号仍然会产生一个很小的输出电压，如何区分一个差分放大器的好坏，就看它能不能在接收到不同信号时提供高增益，而在收到共模信号时提供低增益，不同信号对应增益的比值就是共模抑制比（CMRR），因此，一个差分放大器的品质可以用它的共模抑制比来表示

有一点要注意的是，共模信号$v_{ic}$在两个输入端的差值并不是$v_{i1}-v_{i2}$，而是$\frac{v_{i1}+v_{i2}}{2}$，既两个输入端电压的平均值

了解了差分放大器的功能后，我们来看一看差分放大器可以用来干什么。
在实际应用中，我们常常需要放大一些很微弱的交流电信号，但是很多不必要的干扰信号（噪声），可能也会被放大器捕获并彻底掩盖我们真正想要得到的信号。假如我们使用差分放大器来处理信号，由于被捕获的干扰信号在两个输入端一般是一致的，所以干扰信号会被认定为是共模信号，而我们需要的信号则通常是交流差模信号。因此，只有我们想要的信号会被放大，可以很好地提升信噪比。

举个例子，我们输入一个交流信号时，$v_{i1}=50\mu V,v_{i2}=-v_{i1}=-50\mu V$
此时我们可以得到差模输出电压为$v_{i1}-v_{i2}=100\mu V$
而此时的共模输出电压为$\frac{v_{i1}+v_{i2}}{2}=0\mu V$

假如此时出现噪声，导致输入两端的电压都增加了$1000\mu V$，此时的差模输出电压不会改变，仍为$v_{i1}-v_{i2}=100\mu V$，这就避免了噪声干扰

下图可以帮助我们更直观的看到差分放大器的效果：


上面第一幅图是普通的放大器，可以看到干扰信号$V_n$和我们需要的信号$V_s$一起被放大了，使得输出信号$V_o$充满噪声

第二幅图是差分放大器，可以看到输入端两个信号的差值正好是我们需要的信号$V_s$，所以输出的结果不含干扰信号$V_n$，是信噪比非常低的信号

1.2 共模抑制比

一个差分放大器的共模抑制比代表了这个放大器的品质
它能告诉我们这个放大器可以多好地避免共模信号(CM)影响到我们想要的差分信号(DM)
我们定义共模抑制比的计算方式为：
$$CMRR=\rho =|\frac{A_d}{A_c}|$$
其中$A_d$是差分信号对应的增益，$A_c$是共模信号对应的增益
共模抑制比越大，差分放大器的品质就越好

2. 长尾式差分放大电路以及它的交流/直流分析

上图是一个标准的长尾式差分放大电路

2.1 DC分析

对电路做直流分析时，我们要假设两个AC输入信号$v_{i1},v_{i2}$为0，此时两个晶体管基极电压都为0，而正向偏置的基极-射电极二极管压降约为0.6V，因此，通过电阻$R_E$的电流为：
$$I_o=\frac{V_{EE}-0.6}{2R_E}$$
在长尾式差分放大电路中，两个晶体管$Q_1,Q_2$是完全一样的，因此，流过的电流也相同，根据KCL，可以得到晶体管的电流为：
$$I_{CQ}=\frac{V_{EE}-0.6}{2R_E}$$

接着，我们需要用KVL对电路进行分析：

可以看到，这里增加了两个电阻$R_{S1},R_{S2}$，虽然图上不太直观，但$V_{i1},V_{i2}$下面是GND，实际上与最右边电源处的GND是相连的，因此构成如图所示的两个回路：

对这两个回路应用KVL，得到如下关系式：


对于这个电路，放大器两边的电阻，电流，电压应该是对称的，即：

这样之前用KVL得到的两个方程就可以化简成一个：

接着，根据$I_E=I_C+I_B=(\beta +1)I_B$，我们可以用$I_E$代替式子中的$I_B$，得到：

在实际中，几乎可以确定的是$2(\beta +1)R_E>>R_S$，因此可以将$R_S$消去：

这个方程确定了我们在最早得出的结果，但它也说明了关系式的成立需要哪些条件

注意，流过两个晶体管的电流与电阻$R_C$没有关系，$R_C$只是确保三极管不会在电压摇摆时饱和

2.2 AC分析

作AC分析前，我们先画出等效电路图，如下所示：

2.2.1 共模输入电阻

对于共模信号，输入电压$v_{i1},v_{i2}$被认为来自同一个电源$v_i$，此时的电路图如下：

$v_i$产生的总电流为$i_{b1}+i_{b2}=i_i$
对$v_i,R_E,v_{\pi }$围绕的环路作KVL，可以得到：
$$v_i=v_{\pi }+v_{RE}$$
$$v_i=i_i\frac{r_{\pi }}{2}+(\beta i_{b1}+\beta i_{b2}+i_{b1}+i_{b2})R_E$$
$$v_i=i_i\frac{r_{\pi }}{2}+i_i(1+\beta )R_E$$
$$r_i(common)=\frac{v_i}{i_i}=\frac{r_{\pi }}{2}+(1+\beta )R_E$$

2.2.2 共模电压增益

假设流经$R_C$的电流为$i_{C2}$，如图：

可以得到：

注意，只有穿过三极管Q2的电流会流经$R_C$

电阻$R_C$两端的电压就是输出电压，为：

用输出电压$v_o$除以输入电压$v_i$,可以得到共模增益$A_v(CM)$为：

从上式中我们可以看出，$R_E$越大，共模时的电压增益就越小

2.2.3差分输入电阻

对于差模信号，$v_{i1}=-v_{i2}$，且$i_{b1}=-i_{b2}$，等效电路如下：

此时$v_{i1},v_{i2}$产生的增益后的电流会互相抵消，通过$R_E$的电流不变？？？，点P的电势也不会改变

可以观察到，输入电阻为$2r_{\pi }=\frac{2\beta }{g_m}=\frac{\beta }{20I_{CQ}}$
因此，较低的$I_{CQ}$可以增大输入电阻

2.2.4 差分电压增益

因为施加在两个三极管基极的电压大小相等，方向相反，P点的电势保持它在直流时的值？？？
输出电压为：
？？？
则电压增益为$v_o/v_i$等于

注意这里只能算半个共发射极放大电路（CE），因为输入信号被平分给了两个三极管，只有一半给了CE，也只有施加给Q2的信号才会对流经$R_C$的输出电流有影响

2.2.5 小结

2.2.5.1 共模

输入电阻

电压增益

2.2.5.2 差模

输入电阻

电压增益

2.2.5.3 共模抑制比

2.2.5.4 技术总结

1. 为了减小共模电压增益，我们需要增大$R_E$
2. 为了增大差模电压增益，我们需要增大$R_C{I}_{CQ}$（但不能超过$V_{CC}$）
3. 为了增大共模输入阻抗，我们需要增大$R_E,\beta$
4. 为了增大差模输入阻抗，我们需要减小$I_{CQ}$，增大$\beta$

3. 设计差分放大器

在2.2.5.4中，我们了解了差分放大器的一些设计要点，并且知道一个优秀的设计应该尽量增大$R_E,R_C{I}_{CQ},\beta$
我们有以下几种方式增大$\beta$

1. 超增益晶体管
2. 用一对晶体管连接在输入上形成达林顿对
3. 用场效应晶体管取代双极晶体管，这会在电流镜中提到

在增大$R_E$上，最好的方法是将$R_E$替换为一个不变的电流源（一个完美的电流源理论上拥有无限大的电阻），而三极管的输出特性与一个不变的电流源非常接近，因此我们可以用一个三极管来代替$R_E$，得到的电路图如下：