【基本算法入门-字符串哈希（Hash）】-C++

字符串哈希入门

说得通俗一点，字符串哈希实质上就是把每个不同的字符串转成不同的整数。

为什么会有这样的需要呢？很明显，存储一个超长的字符串和存储一个超大但是能存的下的整数，后者所占的空间会少的多，但主要还是为了方便判断一个字符串是否出现过，这是最基础的部分。

当然也很容易想到，如果有不同的字符串转成同一个整数，那么区分功能就基本废掉 ，所以我们需要一个算法把每个字符串转成唯一的整数。所以字符串哈希算法就应运而生，哈希算法的难点也就在于如何构造一个合适的Hash函数来满足我们的需求。

下面就简单介绍几种字符串哈希的基本方法。

基本哈希方法

一般地，给定一个字符串 $S=s_1{s}_2{s}_3{s}_4...s_n$，令$idx(x)=x{-}^{\prime }{a}^{\prime }+1$，当然，直接(int)x（用它的ASCll码）也一样。

自然溢出法

这种方法是利用数据结构unsigned long long的范围自然溢出：即当存储的数据大于unsigned long long的存储范围时，会自动mod $2^{64}-1$，就不用mod其他质数来保证唯一性了。

Hash公式

unsigned long long Hash[n]
hash[i]=hash[i−1]∗p+idx(s[i]);

注意：这里的p一定要是个质数，不然可能无法保证唯一性。

单Hash法

相当于自然溢出法没有了自动取模的操作，所以需要自己进行取模操作。但是这种Hash方法在模数较小的时候的稳定性不一定得到保证，所以在这个方面不如其他方法。

Hash公式

hash[i]=(hash[i−1])∗p+idx(s[i])%mod;

注意：这里的$p$和$mod$都是质数，且满足$p<mod$。最好在选取的时候把$p$和$mod$的值取大一点。

举例

如取$p=13,mod=101$，对字符串$abc$进行Hash

hash[0]=1;
hash[1]=(hash[0] × 13 + 2)%101=15;
hash[2]=(hash[1] × 13 + 3)%101=97;

所以最终字符串$abc$的hash值就是97

双Hash法

其实网上很多博客讲了多Hash，但我觉得双Hash已经足够稳定了，再多一些也只是浪费时间而已。

顾名思义，双Hash就是对一个hash值用两个不同的质数进行两次$mod$操作，然后最后用一对数$<hash1[n],hash2[n]>$来表示一个字符串的哈希值，这样的一对数的重复几率加上选择较大的质数，冲突率几乎为0。

Hash方法

hash1[i]=(hash1[i−1])∗p+idx(s[i]) % mod1
hash2[i]=(hash2[i−1])∗p+idx(s[i]) % mod2

这样的哈希很安全

Hash素数的选择

为了防止冲突，要选择合适的素数，像1e9+7,1e9+9的一些素数，出题人一般会卡一下下，所以尽量选择其他的素数，防止被卡。下面是一些可供选择的素数。
上界和下界指的是离素数最近的$2^n$的值。

lwr	upr	% err	prime
2^5	2^6	10.416667	53
2^6	2^7	1.041667	97
2^7	2^8	0.520833	193
2^8	2^9	1.302083	389
2^9	2^10	0.130208	769
2^10	2^11	0.455729	1543
2^11	2^12	0.227865	3079
2^12	2^13	0.113932	6151
2^13	2^14	0.008138	12289
2^14	2^15	0.069173	24593
2^15	2^16	0.010173	49157
2^16	2^17	0.013224	98317
2^17	2^18	0.002543	196613
2^18	2^19	0.006358	393241
2^19	2^20	0.000127	786433
2^20	2^21	0.000318	1572869
2^21	2^22	0.000350	3145739
2^22	2^23	0.000207	6291469
2^23	2^24	0.000040	12582917
2^24	2^25	0.000075	25165843
2^25	2^26	0.000010	50331653
2^26	2^27	0.000023	100663319
2^27	2^28	0.000009	201326611
2^28	2^29	0.000001	402653189
2^29	2^30	0.000011	805306457
2^30	2^31	0.000000	1610612741

获取子串的hash

如果我们求出一个串的Hash，就可以$O(1)$求解其子串的Hash值。
公式的推导太复杂…干脆直接贴上来 （绝对不是我想偷懒）

公式

若已知一个$|S|=n$的字符串的hash值，$hash[i]$,$1\le i\le n$，其子串$sl..sr,1\le l\le r\le n$，对应的hash值为：
$$hash=((hash[r]-hash[l-1]\ast p^{r-l+1})\%mod+mod)\%mod$$
ov.