图论中树的基本概念总结

树

不包含圈的图称为无圈图(acyclic graph);连通的无圈图称为树(tree),常用字母Ｔ表示

一个无圈图也称为森林(forest)，树也是森林。在一棵树中，度数为１的顶点称为树叶(leaf)，度数大于１的顶点称为分支点.

树有许多等价的定义:
设无向图G（V,E）＝（V,E）的顶点数为ｎ，边数为ｍ，则下列命题等价：
(1)Ｇ是树；
(2)Ｇ中任意两顶点间有且仅有一条路相连；
(3)Ｇ是连通的，且ｍ＝ｎ－1；
(4)Ｇ中无圈，且ｍ＝ｎ－1；
(5)Ｇ中无圈，但在Ｇ中任意不相邻的两顶点间增加一条边，就得到唯一一个圈

由k棵树组成的森林满足：m=n-k,其中n为G的顶点数，m为G的边数。

一棵阶大于或等于2的树至少有两片树叶

下面是一些6个顶点的树：

它们中的任意组合都构成森林。

支撑树

设T是图G的一个支撑子图，如果T是一棵树，则称它为图G的一棵支撑树；若T为森林，则称它为G的支撑森林(spanning forest)。

例1：连通图和其支撑子图：

例2：图和其支撑森林：

注意：

每个连通图都至少包含一棵支撑树。

若G=(V,E)是连通图，则|E|≥|V|-1

一个连通图的支撑树一般不唯一，只有当Ｇ本身是树时，其支撑树才唯一。

若e是图G的边,则τ(G)=τ(G-e)+τ(G·e),这里用τ(G)表示G的支撑树的数目

当图G是完全图时， 我们有Cayley 公式：

最小支撑树

设G=（V,E;w）是一个连通赋权图, w：E→R+，T是G的一棵支撑树，T的每条边所赋权值之和称为T的权重，记为w(T)。G中具有最小权的支撑树称为G的最小支撑树。
在连通赋权图G=（ V，E;w） 中寻找一个支撑树T，使得w(T)达到最小，称该问题为最小支撑树问题（ MST） 。一个赋权图的最小支撑树不一定是唯一的。