数字滤波器设计之一：巴特沃斯（Butterworth）滤波器
我们常说的经典滤波器是根据傅里叶分析和变换设计出来的，只允许一定频率范围内的信号成分正常通过，而阻止另一部分频率成分通过。按照最佳逼近特性或者滤波通带特性分类，主要为巴特沃斯滤波器（Butterworth）、切比雪夫滤波器（Chebyshev）、贝塞尔滤波器（Bessel）和椭圆滤波器（Elliptic）四种。每种MATLAB都有相应的函数，用起来也比较方便，但是却缺少C/C++的程序，于是自己仔细研究了每种滤波器的特性和原理，并且部分滤波器实现了C语言的代码化，接下来的时间会对这些滤波器的原理和C语言的实现进行介绍。
该系列均以低通滤波器为原型来介绍，其他类型的滤波器可以由低通滤波器通过频率变换转换得到，这里不过多介绍。低通滤波器的主要性能指标有以下几个：通带截止频率fp、阻带截止频率fs、通带衰减 ( Ap)、阻带衰减 ( As) 以及归一化频率时需要用到的-3dB的转折频率fc。
1. Butterworth滤波器原理
Butterworth滤波器因其在通带内的幅值特性具有最大平坦的特性而闻名，是四种经典滤波器中最简单的，巴特沃斯滤波器只需要两个参数表征，滤波器的阶数N和-3dB处的截止频率
。其幅度平方函数为：
N是滤波器的阶数，从幅度平方函数可以看出，N阶滤波器有2N个极点，而且这2N个极点均布在一个圆上，圆的半径为，称之为Butterworth圆，Butterworth滤波器系统是一个线性系统，要使其稳定，其极点必须位于S平面的左半平面，所以取左半平面内的N个极点作为滤波器的极点，滤波器就是稳定的了，求出极点之后，计算模拟滤波器的系数as、bs，然后通过双线性变换（不懂得自行查书）由模拟域到数字域，求出系数az和bz 。最后通过差分方程就可以计算滤波结果了。
2. C语言实现
A．求阶数
公式为：
代码：
N = ceil(0.5*( log10 (( pow (10, Stopband_attenuation/10) - 1)/
( pow (10, Passband_attenuation/10) - 1)) / log10 (Stopband/Passband) ));
B．求极点
公式：
代码：
for(k = 0;k <= ((2*N)-1) ; k++)
{
if(Cutoff*cos((2*k+N-1)*(pi/(2*N))) < 0.0)
{
poles[count].x = -Cutoff*cos((2*k+N-1)*(pi/(2*N)));
poles[count].y = -Cutoff*sin((2*k+N-1)*(pi/(2*N)));
count++;
if (count == N) break;
}
} C．计算模拟滤波器系数
公式：
代码（这部分需要自己推导，多算几步就找到规律了）：
Res[0].x = poles[0].x;
Res[0].y = poles[0].y;
Res[1].x = 1;
Res[1].y= 0;
for(count_1 = 0;count_1 < N-1;count_1++)//N个极点相乘次数
{
for(count = 0;count <= count_1 + 2;count++)
{
if(0 == count)
{
Res_Save[count] = ComplexMul( Res[count], poles[count_1+1] );
}
else if((count_1 + 2) == count)
{
Res_Save[count].x += Res[count - 1].x;
Res_Save[count].y += Res[count - 1].y;
}
else
{
Res_Save[count] = ComplexMul( Res[count], poles[count_1+1] );
Res_Save[count].x += Res[count - 1].x;
Res_Save[count].y += Res[count - 1].y;
}
}
for(count = 0;count <= N;count++)//Res[i]=a(i),i越大次数越高
{
Res[count].x = Res_Save[count].x;
Res[count].y = Res_Save[count].y;
*(a + N - count) = Res[count].x;
}
}
*(b+N) = *(a+N);D．双线性变换
用下式进行替换
中的
变量，得到
，然后类似上面的计算方法计算Z域的系数az和bz，其中T为采样周期，但是因为在计算中会被约去，所以简化计算，这里取1。
公式：
代码：
int Count = 0,Count_1 = 0,Count_2 = 0,Count_Z = 0;
double *Res, *Res_Save;
Res = new double[N+1]();
Res_Save = new double[N+1]();
memset(Res, 0, sizeof(double)*(N+1));
memset(Res_Save, 0, sizeof(double)*(N+1));
for(Count_Z = 0;Count_Z <= N;Count_Z++)
{
*(az+Count_Z) = 0;
*(bz+Count_Z) = 0;
}
for(Count = 0;Count<=N;Count++)
{
for(Count_Z = 0;Count_Z <= N;Count_Z++)
{
Res[Count_Z] = 0;
Res_Save[Count_Z] = 0;
}
Res_Save [0] = 1;
for(Count_1 = 0; Count_1 < N-Count;Count_1++)//计算（1-Z^-1）^N-Count的系数,
{ //Res_Save[]=Z^-1多项式的系数，从常数项开始
for(Count_2 = 0; Count_2 <= Count_1+1;Count_2++)
{
if(Count_2 == 0)
{
Res[Count_2] += Res_Save[Count_2];
}
else if((Count_2 == (Count_1+1))&&(Count_1 != 0))
{
Res[Count_2] += -Res_Save[Count_2 - 1];
}
else
{
Res[Count_2] += Res_Save[Count_2] - Res_Save[Count_2 - 1];
}
}
for(Count_Z = 0;Count_Z<= N;Count_Z++)
{
Res_Save[Count_Z] = Res[Count_Z] ;
Res[Count_Z] = 0;
}
}
for(Count_1 = (N-Count); Count_1 < N;Count_1++)//计算(1-Z^-1)^N-Count*（1+Z^-1）^Count的系数,
{ //Res_Save[]=Z^-1多项式的系数，从常数项开始
for(Count_2 = 0; Count_2 <= Count_1+1;Count_2++)
{
if(Count_2 == 0)
{
Res[Count_2] += Res_Save[Count_2];
}
else if((Count_2 == (Count_1+1))&&(Count_1 != 0))
{
Res[Count_2] += Res_Save[Count_2 - 1];
}
else
{
Res[Count_2] += Res_Save[Count_2] + Res_Save[Count_2 - 1];
}
}
for(Count_Z = 0;Count_Z<= N;Count_Z++)
{
Res_Save[Count_Z] = Res[Count_Z] ;
Res[Count_Z] = 0;
}
}
for(Count_Z = 0;Count_Z<= N;Count_Z++)
{
*(az+Count_Z) += pow(2,N-Count) * (*(as+Count)) * Res_Save[Count_Z];
*(bz+Count_Z) += (*(bs+Count)) * Res_Save[Count_Z];
}
}//最外层for循环
for(Count_Z = N;Count_Z >= 0;Count_Z--)
{
*(bz+Count_Z) = (*(bz+Count_Z))/(*(az+0));
*(az+Count_Z) = (*(az+Count_Z))/(*(az+0));
}E．由由差分方程计算滤波结果
采用滤波器直接II型结构，可以减少一半的中间缓存内存，具体代码如下：
double FiltButter(double *pdAz, //滤波器参数表1
double *pdBz, //滤波器参数表2
int nABLen, //参数序列的长度
double dDataIn,//输入数据
double *pdBuf) //数据缓冲区
{
int i;
int nALen;
int nBLen;
int nBufLen;
double dOut;
if( nABLen<1 )return 0.0;
//根据参数,自动求取序列有效长度
nALen = nABLen;
for( i=nABLen-1; i; --i )
{
if( *(pdAz+i) != 0.0 )//从最后一个系数判断是否为0
{
nALen = i+1;
break;
}
}
//printf("%lf ", nALen);
if( i==0 ) nALen = 0;
nBLen = nABLen;
for( i=nABLen-1; i; --i )
{
if( *(pdBz+i) != 0.0 )
{
nBLen = i+1;
break;
}
}
//printf("%lf ", nBLen);
if( i==0 ) nBLen = 0;
//计算缓冲区有效长度
nBufLen = nALen;
if( nALen < nBLen)
nBufLen = nBLen;
//滤波: 与系数a卷乘
dOut = ( *pdAz ) * dDataIn; // a(0) * x(i)
for( i=1; iVC6.0开发环境滤波结果如下：
至此就完成了Butterworth滤波器的设计过程，完整代码请自行下载。
参考资料：http://blog.csdn.net/zhoufan900428/article/details/9069475
源码地址：http://download.csdn.net/detail/zhwzhaowei/9830114