一道2016年美国高中数学竞赛题

来源

2016 Joseph W. Andrushkiw Competition

The Joseph W. Andrushkiw Competition is an annual mathematics problem-solving competition for New Jersey high school students(每年举行一次、面向新泽西高中生的数学解题竞赛) that is sponsored and hosted by the Mathematics and Computer Science Department at Seton Hall University(该大学的数学和计算机科学系主办）.

Examination

考试内容涵盖：代数、几何、三角学、方程组理论、组合、概率及其它初等数学学科，共16道题，90分钟答完，不准用计算器。

You have 90 minutes to complete the exam. The exam consists of sixteen (16) questions chosen from Algebra, Geometry, Trigonometry, Theory of Equations, Combinatorics, Probability and miscellaneous elementary topics in Mathematics. Calculators may not be used.

竞赛已经于美国新泽西当地时间2016年11月19日上午10:00赛过了。

这个大家还没给答案的题：

已知：

x1+4x2+9x3+16x4+25x5+36x6+49x74x1+9x2+16x3+25x4+36x5+49x6+64x79x1+16x2+25x3+36x4+49x5+64x6+81x7=1,=12,=23(1)(2)(3)

求：

16x1+25x2+36x3+49x4+64x5+81x6+100x7(4)

解法

简单解法

定理

因为对于自然数 k∈N , 下面恒等式总成立：

1×k2−3×(k+1)2+3×(k+2)2=(k+3)2(5)

如果对上面式子中，用等式的编号 (1),(2),(3) 表示仅取等式左边部分，恰好可以得到想要求的式子：

1×(1)−3×(2)+3×(3)=16x1+25x2+36x3+49x4+64x5+81x6+100x7(6)

因为等式 (1),(2),(3) 左边等于右边，所以，要求的式子的值就是：

1×1−3×12+3×23=34(7)

拉格朗日乘子法解法

这个线性问题实际也能用拉格朗日乘子法协助，然后变线性方程组；

线性代数解法

这个问题明显是有唯一解才这么问，所以， (1),(2),(3) 三个等式对应的系数矩阵的秩为3，再加上要求的式子的系数，矩阵的秩仍然是3，从而可以求 7×3 的恰定线性方程组，可以只取 3×3 部分，只要满秩。其实就是前面的简单解法

比如说，为了找待求的式子如何用 (1),(2),(3) 线性组合表出，可以只考虑 x1,x2,x3 , 这个时候得到如下 3×3 线性方程组：

⎡⎣⎢149491691625⎤⎦⎥⋅⎡⎣⎢c1c2c3⎤⎦⎥=⎡⎣⎢162536⎤⎦⎥(8)

一个个消元的、回代的话，熟练者应该可以容易找到正确的解。这个解中的 c1,c2,c3 就是前面式子（6）和（7）中红色的三个系数。

更加初等的解法

我透露一点，上述方法居然没有利用这些重要的特征：首先，系数矩阵是对称矩阵；其次，所有的系数，依次是逐渐增大的自然数的平方…… 是不是有什么初等的技巧可以利用这些特征，从而进一步简化计算？

好吧，(3)-(2)=11, (2)-(1)=11, 这里有什么规律？

仍然用公式符号表示等式左边

Δ2,1=(2)−(1)=11=3x1+5x2+7x3+9x4+11x5+13x6+15x7(9)

Δ3,2=(3)−(2)=11=5x1+7x2+9x3+11x4+13x5+15x6+17x7(10)

Δ3,2−Δ2,1=(10)−(9)=0=2∑k=17xk⇒∑k=17xk=0(11)

Δ4,3=(4)−(3)=7x1+9x2+11x3+13x4+15x5+17x6+19x7(12)

Δ4,3−Δ3,2=(12)−(10)=2∑k=17xk=0⇒Δ4,3=11⇒(4)=(3)+11=34

结论

我得意的笑。没用计算器。但是……