分治法1--最大序列和

分治法基本概念

分治法是构建基于多项分支递归的一种很重要的算法范式。字面上的解释是「分而治之」，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。

分治法的适用场景：对于一个规模为 n 的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模 n 较小）则直接解决，否则将其分解为 k 个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。

下面我通过一个简单的实例题目对分治进行详解：

例题：

**最大连续和问题:**给出一个长度为n的序列A1,A2,···,An,求最大连续和。换句话说，要求找到 1<=i<=j<=n,使得Ai+···+Aj尽量大。

解题步骤

分治算法解题一般分为三个步骤：

划分问题： 把问题的实例划分成子问题；

递归求解： 递归解决子问题；

合并问题： 合并子问题的解得到原问题的解。

“划分”就是把序列分成元素个数尽量相等的两半；

“递归求解”就是分别求出完全位于左半边或则完全位于右半边的最佳序列；

“合并”就是求出起点位于左半、终点位于右半的最大连续和序列，并和子问题的最优解比较。

“划分”和“递归求解”基本上都能理解，关键在于“合并” 步骤。既然起点位于左半，终点位于后半，则可以认为把这样的序列分成两个部分，然后独立求解：先寻找最佳起点，然后再寻找最佳终点。

实例演示

**最大序列和问题：**给出一个长度为 n 的序列$$A_1$$,$$A_2$$,···,$$A_n$$，求最大连续和。换句话说，要求找到 1<=i<=j<=n，使得$$A_i$$+$$A_{i+1}$$+···+$$A_j$$尽量大。

假如现在有一组数[2，4，-2，1]，那么这组数的连续和有以下几种情况：

2=2
4=4
-2=-2
1=1
2+4=6
4-2=2
-2+1=-1
2+4-2=4
4-2+1=3
2+4-2+1=5

不难看出，组数[2，4，-2，1]的最大序列和为 6。这里采用的是穷举法，列举出了所有可能的结果，当数组长度比较大时，运算复杂度会非常大。

很容易看出，最大序列和问题适用于分治法。现在介绍一下如何用分治法来求解最大序列和问题，根据分治法的解题步骤，对应的解题思路如下：

• “划分”就是把序列分成元素个数尽量相等的左右两半；

• “递归求解”就是分别求出完全位于左半边或者完全位于右半边的最佳序列；

• “合并”就是求出起点位于左半、终点位于右半的最大连续和序列，并和子问题的最优解比较。

“划分”和“递归求解”基本上都能理解，关键在于“合并” 步骤。既然起点位于左半，终点位于右半，则可以认为把这样的序列分成两个部分，然后独立求解：先寻找最佳起点，然后再寻找最佳终点。

这里要求一组数的最大序列和，我们可以把数组分成两半，求另外两半数据的最大序列和，如果还是不能够解决问题，我们就再分两半，直到我们很容易做出判断为止，此时我们的“划分”，“递归求解”结束。例如：[2，1，-1，5，-1]，第一次“划分”后分成了两小块[2，1] 和 [-1，5，-1]；很容易看出，[2，1]小块的最大序列和是为3，[-1，5，-1]小块的最大序列和是3。那么[2，1，-1，5，-1]的最大序列和是多少呢？我们肉眼可见就是7。下面讲述一下“合并的过程”！

首先，我们需要明确一点，最大序列和有三种情况：

1.分两半之后，左边的最大序列和（简写“Lmax”）直接是整个序列的最大连续和；

2.分两半之后，右边的最大序列和（简写“Rmax”）直接是整个序列的最大连续和；

3.分两半之后，整个序列的最大连续和是整个序列的中间部位（简写“L+R”），即最大连续和包含左边的一部分数据和右边的一部分数据。

由上可得，[2，1，-1，5，-1]的最大连续序列和 = MAX(Lmax，Rmax，L+R)。

其次，我们要确定每次“划分”的分界点，这里用 m 表示，计算公式如下所示：

m=(序列长度-序列第一个值的索引)/2    # m 需要取整

例如：数组[2，1，-1，5，-1]第一次“划分”时，序列长度是 5，第一个序列值是 2，它的索引是 0。由公式可得，m=(5-0)/2=2 （需要取整）。

在“划分”时，遵循“左开右闭”的规则。以数组[2，1，-1，5，-1]为例，第一次“划分”的 m 值为 2，根据“左开右闭”的规则，可以划分为两小块[2，1] 和 [-1，5，-1]，即索引值为 2 的值被右小块取到了。

然后，需要依次求取 Lmax、Rmax、L 和 R 的值：

• 左小块[2，1]的 Lmax 值为 3；

• 右小块[-1，5，-1]的 Rmax 值为 5；

• L=以索引m-1为起点的左边序列和的最大值，索引每次向左移一步，再累加求和，对于左小块[2，1]，L=max(1,1+2)=3。

• R=以索引m为起点的右边序列和的最大值，索引每次向右移一步，再累加求和，对于右小块[-1，5，-1]，R=max(-1,-1+5,-1+5-1)=4。

最后，进行合并求解，best=max(Lmax，Rmax，L+R)=max(3,5,3+4)=7。这里没有进行递归演示，其实在求解右小块[-1，5，-1]的 Rmax 值时，用到了公式best=max(Lmax，Rmax，L+R)。

关键代码

经上面的演算，分治法的 C++ 代码直接推导为：

int maxsum(int* A,int x,int y){  // 返回数组在左闭右开区间[x,y)中最大连续和
    int v,L,R,maxs;
    if(y-x==1) return A[x];  // 只有一个元素，直接返回
    int m=x+(y-x)/2;  // 分治第一步：划分成[x,m)和[m,y)
    maxs=max(maxsum(A,x,m),maxsum(A,m,y));  //  分治第二步：递归求解
    v=0;L=A[m-1];  //  分治第三步：合并(1)——从分界点开始往左的最大连续和L
    for(int i=m-1;i>=x;i--) L=max(L,v+=A[i]);
    v=0;  //分治第三步：合并(2)——从分界点开始往右的最大连续和R
    R=A[m];
    for(int i=m;i

数据结构、算法嘛！讲究效率。虽然对于最大序列和问题，用分治法相比于传统的方法看上去很巧妙，时间复杂度上也还过得去，分治法的时间复杂度是 O(n logn) 。但是对于这道题，分治法还不是最高效的，算法还可以再优化，时间复杂度可以达到 O(n) 。由于本章讲的是分治法，这里我就不做过多的阐述了。

一个在下游疯狂打怪的少年。希望早点遇见大魔王。