《高数叔》概率论与数理统计期末总复习笔记（持续更新中）

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一、随机时间与概率—day1

1.随机事件与样本空间的概念

2.事件的关系（集合之间的关系）

3.事件的运算律—交换律-结合律-分配律-德摩根律

4.概率的概念和性质

5.古典概型

• 古典概型计算公式

6.条件概率

7.乘法定理

8.全概率公式

9.贝叶斯公式

全概率&贝叶斯举例

10.事件独立性

11.大概会考啥？

古典概型-加法-减法-乘法公式

12.举几个例子

（1）条件概率与古典概型

（2）德摩根律与古典概型

（3）条件概率

（4）古典概型与组合C

（5）串并联电路与古典概型

（6）古典概型与组合C–正品次品

（7）全概率与贝叶斯公式的应用

（8）贝叶斯公式与全概率公式的应用

• 依次类推
  

练习题—day1

1.德摩根律与条件概率

2.A&B事件判断

3.正品次品组合C-全概率公式

4.串并联电路

5.零件加工-全概率与贝叶斯公式

二、随机变量及其分布—day2

1.随机变量的概念

2.分布律、分布函数、概率密度

3.常用离散随机变量—（0-1，二项，泊松）分布

4.常用的连续型随机变量分布—（均匀、正态、标准正态、指数）分布

5.举几个例子

（1）求随机变量X的分布律

第二题：

（2）已知X的分布律，求X的分布函数F_x(X)

（3）求Y=(X-1)²的分布律, Y的分布函数F(Y)

（4）泊松分布X~P(λ)

（5）均匀分布X~U(a,b)

（6）指数分布X~e(λ)

（7）正态分布X~N(μ,σ²)

（8） 已知概率密度f(x),求c的值和X的分布函数F(x)

（9）已知分布函数F(X)，求A,B的值及概率密度f(X)_X和f_Y(Y)

（10）已知概率密度f(X)的一道应用题&&二项分布—B(n,p)

练习题—day2

1.古典概型和二项分布—B(n,p)

2.求X的分布律和分布函数F(X)

3.泊松分布X~P(λ)

4.已知X的概率密度函数，y=2x+1,求f_y(Y)

5.已知X的分布律，求Y=X²-1的分布律

6.正态分布X~N(μ,σ²)与标准正态分布X~N(0,1)

7.已知概率密度f(x),求a,b和f_y(Y)

8.已知概率密度f(X)的一道应用题&&条件概率P(A|B)&&二项分布—B(n,p)

三、二维随机变量及其分布—day3

1.多维随机变量及其分布和独立性

2.二维离散型随机变量的分布及独立性

3.二维连续型随机变量的分布及独立性

4.二维标准正态分布N(0,1)联合概率密度

5.两个随机变量的函数分布

6.举几个例子

（1）已知二维离散型随机向量（X,Y）列表分布律，填完表格。并求u=max{X,Y}分布律、P(X

类似的第二题：

（2）已知x,y服从N(0,1)分布，求联合概率密度f(X,Y)和Z的分布律

（3）已知二维随机变量的联合分布密度f(X,Y)，求X,Y是否相互独立及P(X

（4）已知二维随机变量的联合分布密度f(X,Y)，求f_x(x)及条件概率f_Y|X(y|x)

（5）已知X,Y联合密度f(x,y)，求P(Y>=X²)和Z=X+Y的概率密度函数

练习题—day3

1.已知X的概率密度函数，A={X>a}与B={Y>a}相互独立，且P(AUB)=3/4，求a的值

2.已知二维随机变量的概率密度函数f(x,y)，求边缘密度函数f_x(x),f_Y(y)，P(Y>=X²)

类似的题目：

3.已知联合概率密度f(x,y),求f_z(z),p{min(X,Y)<=1/2}

• 可参考前面的例题，关于（2）
  
  
  

四、随机变量数字特征—day4

1.数学期望E(X)

2.数学期望的性质

3.方差D(X)与标准差

4.方差的性质

5.常用分布的期望和方差

6.协方差及性质

7.相关系数ρ_xy

8.矩—原点矩、中心矩

9.举几个例子

（1）泊松分布、指数分布、正态分布，求期望E(X)

（2）均匀分布、泊松分布、正态分布，求期望E(X)、方差D(X)

（3）已知D(X),D(Y),ρ_xy,求D(X+Y),D(X-Y)

（4）已知(X,Y)联合分布律级边缘分布律，求E(X),E(Y),E(XY),Cov(x,y),ρ_xy

（5）已知(X,Y),联合分布密度，求E(Z),D(Z)

（6）已知(X,Y),联合分布密度，求边缘密度f_x(x),E(Y),E(Y²),D(Y)

练习题—day4

1.泊松分布求λ，正态分布、二项分布、求P，E(U),D(U)

2.已知(x,y)联合分布律表，求协方差Cov(X,Y )

3.已知二维随机变量X,Y)的联合密度函数f(x,y)，求D(Y)

五、中心极限定理与抽样分布—day5

1.中心极限定理1、2

2.总体和样本

3.统计量

4.常用统计量

5.常用分布

X²(n)分布

t(n)分布

F分布

正态总体统计量的分布

6.举几个例子

（1）中心极限定理2—B(n,p)

（2）中心极限定理1—N(μ,σ²)

（3）指数分布—e(λ)

（4）常用分布—X²(n)、t(n)、F

类似第二题：

（5）正态总体统计分布

练习题—day5

1.常用分布的填空题—X²(n)、t(n)、F

********** 重要看个数 **********

2.中心极限定理1—N(μ,σ²)

3.中心极限定理2—B(n,p)

六、参数估计—day6

1.点估计的概念

2.矩估计法

3.最大似然估计法

4.无偏估计量

5.举几个例子

（1）离散型：矩估计法、最大似然估计求矩估计量

类似的第二题，区别在于最大似然估计值求法有点不一样：

（2）连续型：矩估计法求矩估计量

（3）连续型：最大似然估计法求估计量

（4）连续型:求矩估计量、最大似然估计量

（5）无偏估计

练习题—day6

1.连续型：矩估计法求矩估计量

2.连续型：矩估计法和最大似然估计法求估计量

3.无偏估计