Lyapunov、Sylvester和Riccati方程的Matlab求解
一、Lyapunov方程
1、连续Lyapunov方程
连续Lyapunov方程可以表示为
Lyapunov方程来源与微分方程稳定性理论，其中要求C为对称正定的n×n方阵，从而可以证明解X亦为n×n对称矩阵，这类方程直接求解比较困难，不过有了Matlab中lyap()函数，就简单多了。
>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 0]
C=-[10 5 4;5 6 7;4 7 9]
>> X=lyap(A,C)
2、Lyapunov方程的解析解
利用Kroncecker乘积的表示方法，可以将Lyapunov方程写为
可见，方程有唯一解的条件并不局限于C对称正定，只要满足非奇异即可保证方程唯一解。同时也打破了传统观念，C必须对称正定的。
function x=lyap2(A,C)
%Lyapunov方程的符号解法
n=size(C,1);
A0=kron(A,eye(n))+kron(eye(n),A);
c=C(:);
x0=-inv(A0)*c;
x=reshape(x0,n,n)
下面看一个示例，体会下符号解法：
>>A=[1 2 3;4 5 6;7 8 0];
>>C=-[10 5 4;5 6 7;4 7 9];
>>x=lyap2(sym(A),sym(C))
x =
[ -71/18, 35/9, 7/18]
[ 35/9, -25/9, 2/9]
[ 7/18, 2/9, -1/9]
3、离散Lyapunov方程
离散Lyapunov方程的一般形式为：
Matlab中直接提供了dlyap()函数求解该方程：X=dlyap(A,Q)
其实，如果A矩阵非奇异，则等式两边同时右乘
得到：
就可以将其变换成连续的Sylvester方程：
其中 
，
。
而Sylvester方程是广义Lyapunov方程，故离散的Lyapunov方程还可以使用下面的方法求解：
B=-inv(A’)
C=Q*inv(A’)
X=lyap(A,B,C)
下面总结下我们上面的讲到的知识点：
X=lyap(A,C) 连续Lyapunov方程数值解法
X=lyap2(A,C) 连续Lyapunov方程符号解法
X=lyap(A,B,C) 广义Lyapunov方程，即Sylvester方程
X=dlyap(A,Q)或者X=lyap(A,-inv(A’),Q*inv(A’)) 离散Lyapunov方程
二、Sylvester方程Matlab求解
Sylvester方程的一般形式为
该方程又称为广义的Lyapunov方程，式中A是n×n方阵，B是m×m方阵，X和C是n×m矩阵。Matlab控制工具箱提供了直接的求解该方程的lyap()函数：
A=[8 1 6;3 5 7;4 9 2]
B=[2 3;4 5]
C=[1 2;3 4;5 6]
X=lyap(A,B,C)
同理，我们使用Kronecker乘机的形式将原方程进行如下变化：
Lyapunov、Sylvester和Riccati方程的Matlab求解
故可以编写Sylvester方程的解析解函数：
function X=lyap3(A,B,C)
%Sylvester方程的解析解法
%rewrited by dynamic
%more information
If nargin==2,C=B;B=A';end
[nr,nc]=size(C);
A0=kron(A,eye(nc))+kron(eye(nr),B');
try
C1=C';
X0=-inv(A0)*C1(:);
X=reshape(X0,nc,nr);
catch
error('Matlabsky提醒您：矩阵奇异！');
end
使用上面的数据，我们试验下该解析解法
>>X=lyap3(sym(A),B,C)
X =
[ 2853/14186, 557/14186, -9119/14186]
[ 11441/56744, 8817/56744, -50879/56744]
三、Riccati方程的Matlab求解
Riccati方程是一类很著名的二次型矩阵形式，其一般形式为
由于含有矩阵X的二次项，所有Riccati方程求解要Lyapunov方程更难，Matlab控制工具箱提供了are()函数，可以直接求解该函数：
A=[-2 1 -3;-1 0 -2;0 -1 -2]
B=[2 2 -2;-1 5 -2;-1 1 2]
C=[5 -4 4;1 0 4;1 -1 5]
X=are(A,B,C)