【题解】牛客OI周赛1-提高组 C.序列 计数类DP+前缀和优化

链接：https://www.nowcoder.com/acm/contest/199/C
来源：牛客网

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我们枚举不同数字的个数 $x$ 。此时等价于这个问题，有 x 个箱子排成一排，任
意两个箱子之间距离不超过 k（超过 k 意味着可以把这个间距减小到 k，且是一个等价的序
列），第一个箱子和最后一个箱子的距离不超过 m 的方案数。设 $F[i,j]$ 表示放置了 $i$ 个箱子，第 $1$ 个箱子和最后一个箱子的距离为 $j$ 的方案数。
$$F[i,j]=\sum _{l=1}^{j-1}F[i-1,l]$$
注意要减去超过 $k$ 的那些方案数。观察到这个状态转移方程可以利用前缀和优化至 $O(n^2)$ 。
将 $n$ 个位置放入 $x$ 种不同数字一共有 $S[n,k]$ 种不同的方法，其中 $S$ 代表第二类斯特林数。
然后还要对 $x$ 个数字进行大小定位，共有 $x!$ 种不同方法。
目标：
$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=0}^{m}S[n,i]\ast i!\ast f[i,j]$$

#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=998244353;
const int N=2e3+10;
int n,m,k;
ll fac[N],sum[N],f[N][N],s[N][N],ans;
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    	s[i][1]=s[i][i]=1;fac[i]=(fac[i-1]*i)%mod;
    	for(int j=2;j

总结

初拿到这道题毫无头绪。这题转化为一个放箱子的模型，通过一系列分析利用DP求解，很巧妙。