蒙特卡洛光线追踪 蒙特卡洛积分 体渲染论文阅读训练 基础知识积累篇三

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多维蒙特卡罗积分

将前面的等式应用于多维积分是很简单的，除了选择多维采样点可能比一维情况更复杂。作为二维中的一个例子，假设我们想在原点中心的正方形 [-1，1]^2 上积分一些函数 f 。这可以记为单个二维变量x上的积分：

在每个 xi 是二维点分布的二维密度P。我们可以转换成更明确的笛卡尔坐标，并且有一种形式，我们可能更舒服：

这与上面的形式没有什么不同，除了我们看到席的显式成分是（xi，yi）。

如果我们的积分超过半径R，没有什么变化，除了采样点必须按照圆盘上的密度分布。这就是蒙特卡罗积分相对容易的原因：一旦选择了样本点，公式的应用总是一样的。

翻译了这么多，我们现在把之前的部分再解释记录一下，为了确保真正理解蒙特卡洛积分的原理。

首先，假设有一个正方形，简单起见我们先说第一种情况：正方形上每个点出现的概率都是一样的，总概率为1。但是每个点的值不一定一样。现在我们要求这个正方形所有点的平均值（可以理解为一个正方形区域的平均海拔）。

（图片来自网络，侵删）

则我们随机从正方形图上抽取一些点，然后取平均，抽取的点数越多，平均值越接近于平均海拔。

现在有意思的要来了：正方形上每个点出现的概率不一定一样，但是总概率的和为1。比如，中间出现的概率第一些，两边出现的概率高一些，大概是盆地形状（区分开每个点出现的概率和该点的值，是不一样的）。、

现在我们要想求该区域的值，就应该采用重要性抽样，即出现概率低的地方采样少一点，出现概率高的地方采样多一点。

所以如果正方形上每个点出现概率不一样的话，我们就不能仅仅只依靠这个采样函数了：

因为最后面的式子只给出了要采样的点的值，但是没有告诉概率因素。