SPFA算法
转自：https://blog.csdn.net/xunalove/article/details/70045815
求单源最短路的SPFA算法的全称是：Shortest Path Faster Algorithm。
SPFA算法是西南交通大学段凡丁于1994年发表的。
从名字我们就可以看出，这种算法在效率上一定有过人之处。
很多时候，给定的图存在负权边，这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地，而Bellman-Ford算法的复杂度又过高，SPFA算法便派上用场了。有人称spfa算法是最短路的万能算法。
简洁起见，我们约定有向加权图G不存在负权回路，即最短路径一定存在。当然，我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序，以判断是否存在负权回路。
我们用数组dis记录每个结点的最短路径估计值，可以用邻接矩阵或邻接表来存储图G，推荐使用邻接表。
spfa的算法思想（动态逼近法）：
设立一个先进先出的队列q用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。
松弛操作的原理是著名的定理：“三角形两边之和大于第三边”，在信息学中我们叫它三角不等式。所谓对结点i,j进行松弛，就是判定是否dis[j]>dis[i]+w[i,j]，如果该式成立则将dis[j]减小到dis[i]+w[i,j]，否则不动。
下面举一个实例来说明SFFA算法是怎样进行的：
和广搜bfs的区别：
SPFA 在形式上和广度(宽度)优先搜索非常类似，不同的是bfs中一个点出了队列就不可能重新进入队列，但是SPFA中一个点可能在出队列之后再次被放入队列，也就是一个点改进过其它的点之后，过了一段时间可能本身被改进(重新入队)，于是再次用来改进其它的点，这样反复迭代下去。
算法描述：
void spfa(int s) {
memset(dis, 0x3f3f, sizeof(dis)); //默认初始距离都为无穷大
dis[s] = 0; //起点到起点的距离为零
queue q;
q.push(s); //把起点放入队列中
vis[s] = 1; //rember
while(!q.empty()){ // 直到空为止
int now = q.front(); //记录队首的点
q.pop();//弹出对首
vis[now] = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++){
if(dis[i] > dis[now] + map[now][i]){
dis[i] = dis[now] + map[now][i]; //更新
if(!vis[i]){
vis[i] = 1; // 入列
q.push(i); //如果没入列入列
}
}
}
}
} 这是总的程序：用的数组
#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn = 1000;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m;
int map[maxn][maxn] = {}, dis[maxn] = {},path[maxn] = {0};
bool vis[maxn] = {0}; //队列没有查找函数所以直接开一个bool 查找
void spfa(int s) {
memset(dis, 0x3f3f, sizeof(dis)); //默认初始距离都为无穷大
dis[s] = 0; //起点到起点的距离为零
queue q;
q.push(s); //把起点放入队列中
vis[s] = 1; //rember
while(!q.empty()){ // 直到空为止
int now = q.front(); //记录队首的点
q.pop();//弹出对首
vis[now] = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++){
if(dis[i] > dis[now] + map[now][i]){
dis[i] = dis[now] + map[now][i]; //更新
path[i] = now;
if(!vis[i]){
vis[i] = 1; // 入列
q.push(i); //如果没入列入列
}
}
}
}
}
void print(int k){
if (path[k]!=0) print(path[k]);
cout << k << ' ';
}
int main() {
memset(map, 0x3f, sizeof(map));
cin >> n >> m; //n为节点数， m为边数
for(int i = 0; i < m; i++) {
int a, b, c; //起点， 终点， 长度
cin >> a >> b >> c;
map[a][b] = map[b][a] = c;
}
spfa(1); //这里默认以 1 为 终点
for(int i = 1; i <= n; i++) {
cout << dis[i] << endl;
print(i);
if(i != n )cout << endl;
}
return 0;
} 这是结构体写的：
出处：https://blog.csdn.net/wjh2622075127?tdsourcetag=s_pctim_aiomsg
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn = 1000;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
struct point {
int to, val;
point (int a, int b) : to(a), val(b) { }
} ;
vector map[maxn];
int n, m, dis[maxn];
bool vis[maxn] = {0};
void spfa(int s) {
memset(dis, 0x3f , sizeof(dis));
dis[s] = 0;
vis[s] = 1;
queue q;
q.push(s);
while(!q.empty()) {
int now = q.front();
q.pop();
vis[s] = 0;
for (int i = 0; i < map[now].size(); ++i) {
int u = now;
int v = map[now][i].to, d = map[now][i].val;
if (dis[v] > dis[u] + d) {
dis[v] = dis[u] + d;
if (!vis[v]) {
q.push(v);
vis[v] = true;
}
}
}
}
}
int main() {
cin >> n >> m;
for(int i = 0; i < m; i++) {
int a, b , c;
cin >> a >> b >> c;
map[a].push_back(point(b,c));
map[b].push_back(point(a,c));
}
spfa(1);
for(int i = 1; i <= n; i++ ) cout << dis[i] << " ";
return 0;
} 最短路径本身怎么输出？
在一个图中，我们仅仅知道结点A到结点E的最短路径长度，有时候意义不大。这个图如果是地图的模型的话，在算出最短路径长度后，我们总要说明“怎么走”才算真正解决了问题。如何在计算过程中记录下来最短路径是怎么走的，并在最后将它输出呢？ 我们定义一个path[]数组，path[i]表示源点s到i的最短路程中，结点i之前的结点的编号(父结点)，我们在借助结点u对结点v松弛的同时，标记下path[v]=u，记录的工作就完成了。
如何输出呢？我们记录的是每个点前面的点是什么，输出却要从最前面到后面输出，这很好办，递归就可以了：
c++ code:
void printpath(int k){
if (path[k]!=0) printpath(path[k]);
cout << k << ' ';
} 详细代码见第一个代码。