spfa 算法 （单源最短路）

求单源最短路的SPFA算法的全称是：Shortest Path Faster Algorithm。

简单的说就是队列优化的bellman-ford

在路径中存在负权边是 dijkstra 就没法使用了 ，这是就可以SPFA 了

但是当有负权的环是 就没有最短路，spfa 可以判断是否有负权环，如果没有就可以求出最短路。。

期望的时间复杂度O(ke)， 其中k为所有顶点进队的平均次数，可以证明k一般小于等于2。　　

实现方法：建立一个队列，初始时队列里只有起始点，再建立一个表格记录起始点到所有点的最短路径（该表格的初始值要赋为极大值，该点到他本身的路径赋为0）。然后执行松弛操作，用队列里有的点去刷新起始点到所有点的最短路，如果刷新成功且被刷新点不在队列中则把该点加入到队列最后。重复执行直到队列为空

简单说就是把源点放入队列，然后松弛这个点相连的点，如果松弛成功就把这个点放入队列，用一个数组记录每个点是否在队列中，在一次取出队列中的点，在松弛相连的点，如果松弛成功，就判断这个点是不是在队列中，如果不再队列中就把这个点放入队列（点可能多次进入队列）

spfa 可以判断有无负权环，只需 记录每个点进队的次数，如果超过了 n-1 就有负权环，因为每个点松弛的次数不可能超多n-1

以下的源码 （引自：http://www.nocow.cn/index.php/SPFA）

/*
 * 单源最短路算法SPFA,时间复杂度O(kE),k在一般情况下不大于2,对于每个顶点使用可以在O(VE)的时间内算出每对节点之间的最短路
 * 使用了队列,对于任意在队列中的点连着的点进行松弛,同时将不在队列中的连着的点入队,直到队空则算法结束,最短路求出
 * SPFA是Bellman-Ford的优化版,可以处理有负权边的情况
 * 对于负环,我们可以证明每个点入队次数不会超过V,所以我们可以记录每个点的入队次数,如果超过V则表示其出现负环,算法结束
 * 由于要对点的每一条边进行枚举,故采用邻接表时时间复杂度为O(kE),采用矩阵时时间复杂度为O(kV^2)
 */
#include
#include
#include
#define MAXV 10000
#define INF 1000000000 //此处建议不要过大或过小,过大易导致运算时溢出,过小可能会被判定为真正的距离
 
using std::vector;
using std::queue;
 
struct Edge{
	int v; //边权
	int to; //连接的点
};
 
vector e[MAXV]; //由于一般情况下E< buff; //队列,用于存储在SPFA算法中的需要松弛的节点
bool done[MAXV]; //用于判断该节点是否已经在队列中
int V; //节点数
int E; //边数
 
bool spfa(const int st){ //返回值:TRUE为找到最短路返回,FALSE表示出现负环退出
	for(int i=0;iV){ //已经超过V次,出现负环
						while(!buff.empty())buff.pop(); //清空队列,释放内存
						return false; //返回FALSE
					}
				}
			}
		}
		buff.pop();//弹出队首节点
		done[tmp]=0;//将队首节点标记为未入队
	}
	return true; //返回TRUE
} //算法结束
 
int main(){ //主函数
	scanf("%d%d",&V,&E); //读入点数和边数
	for(int i=0,x,y,l;iy有一条有向边长度为l
		Edge tmp; //设置一个临时变量,以便存入vector
		tmp.v=l; //设置边权
		tmp.to=y; //设置连接节点
		e[x].push_back(tmp); //将这条边压入x的表中
	}
	if(!spfa(0)){ //出现负环
		printf("出现负环,最短路不存在\n");
	}else{ //存在最短路
		printf("节点0到节点%d的最短距离为%d",V-1,dist[V-1]);
	}
	return 0;
}