Min25筛应用

前言

两年前写了一篇《Min25筛入门》，但其实我自己一直没有领悟到这个算法的精髓，发现之前写的很多东西也有点片面肤浅，只停留在知其然的地步。现在来补充一些筛积性函数前缀和之外的基础应用。
参考文章：https://www.cnblogs.com/GuessYCB/p/10061411.html

内容

记$R(x)$为x的最小质因子。

1. $$\sum _{i\in [2,n]}R(i)\times [i是合数]$$
   虽然这不是经典积性函数求和，但是用Min25筛（模拟埃氏筛）的思想可以快速统计：
   考虑min25筛的part1，每次枚举一个质数将其不包含自身的倍数全部“筛去”。
   那么用质数p筛$g(n)$时，可以求得被筛出数的个数，也就是$(g(\frac{n}{p})-cnt[p])$。写个转移式在旁边便于理解：
   $$g^{\prime }(n)=g(n)-(g(\frac{n}{p})-cnt[p])，其中cnt[p]为[1,p)的质数个数$$
   注意这里面没有质数的贡献。如果需要的话还做一个质数的求和。

2. $$\sum _{i\in [2,n]}R(i)\times i\times [i是合数]$$
   稍微升级了一下，本质是一样的，只需要Part1，做求和就行。
   然后用质数p筛的时候，对答案贡献是$p^2\times (g(n/p)-sum[p])$
   $$\sum _{i\in [2,n]}\frac{i}{R(i)}\times [i是合数]$$也是类似的，贡献去掉$p^2$即可。

3. $$\sum _{i\in [2,n]}D(i)，D(i)是i的最大质因子$$
   这回不能沿用最小质因子的套路了。我们利用一下Part2的统计方法。
   每一次是枚举一个质因子。最后枚举的是最大的质因子。于是我们在所有质数和他的次幂那里算上贡献就可以了。
   写的比较丑可能常数不太好，多筛了一个不需要的个数。

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N=2e5+10;
ll n,p[N],is[N],P,iden[N],iden2[N],w[N];
ll pcnt[N],g[N],s[N],psum[N];
ll id(ll x) {return ((x)<=P?iden[x]:iden2[n/(x)]);}
void init(){
	n=1.1e5;
	for(ll i=2;i<=n;i++){
		if(!is[i])p[++p[0]]=i;
		for(ll j=1;j<=p[0]&&p[j]*i<=n;j++){
			is[p[j]*i]=1;
			if(i%p[j]==0)break;
		}
		pcnt[i]=pcnt[i-1]+(is[i]==0);
		psum[i]=psum[i-1]+(is[i]==0)*i;
	}
}
ll m;
ll ask(ll x, ll mi){
	if (x==1||p[mi]>x)return 0;
	ll ret=s[id(x)]-psum[p[mi]-1];
	for(ll i=mi;i<=p[0]&&p[i]*p[i]<=x;i++){
		for(ll j=1,r=p[i];r<=x;j++,r*=p[i]){
			ret += ask(x/r,i+1) + (j>1?p[i]:0);
		}
	}
	return ret;
}

int main() {
	freopen("c.in","r",stdin);
	init();
	cin>>n;	P=sqrt(n);
	for(ll l=1;l<=n;l++){
		ll v=n/l;
		++m;
		if(v<=P)iden[v]=m;else iden2[n/v]=m;//想想为什么这个地方是单射
		w[m]=v;
		g[m]=v-1;
		s[m]=(2+v)*(v-1)/2;
		l=n/(n/l);
	}
	for(ll j=1;p[j]<=P;j++){
		for(ll i=1;i<=m&&p[j]*p[j]<=w[i];i++){
			g[i]-=g[id(w[i]/p[j])]-pcnt[p[j]-1];
			s[i]-=(s[id(w[i]/p[j])]-psum[p[j]-1])*p[j];
		}
	}
	cout<<ask(n,1)<<endl;
}

4. $$\sum _{i\in [2,n]}D(i)，D(i)是i的严格次大质因子，如果不存在即为0$$
   类似(3).当你确定最大质因子的时候，你发现你是知道次大质因子是什么的。
   非严格次大也是可以类似做的，加一点点细节。

5. $$\sum _{i\in [2,n]}D(i)\times [i是合数]，D(i)是i的非严格第三大质因子$$
   出这个就是丧心病狂了。还是改part2的ask函数，返回一个三元组：分别是用了1,2个质因子的数的个数,以及>=3个质因子的数的贡献和。统计这个也是O(1)的。

6. 做到这里，你基本已经理解part2的直接计算法是在干啥了：其实就是在枚举每一个合数，以及快速计算质数的贡献。这也是需要part1的原因。
   那么，我们就可以轻易地对质因数做一些自定义的限制。比如$$给定k，\sum _{i\in [2,n]}\mu (i)[gcd(i,k)=1]$$
   这是禁用了一些质因数的意思。

结语

虽然min25筛的基本盘还是积性函数的快速筛法，但是关于质因数的许多问题也能很好的处理。适用性比需要构造狄利克雷卷积的杜教筛更广（但是更慢）。其巧妙而又不复杂的思想是很值得我们去揣摩与掌握的。