图着色问题 —— 【算法设计】回溯法

回溯法

问题背景

给定图的顶点v，顶点间的边邻接关系Graph[ ][ ]，颜色的数量m，一共有多少种着色方法？

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回溯法

• 基本思想：
  回溯法有“通用的解题法”之称。用它可以系统地搜索一个问题的所有解或任一解。
  回溯法是一种即带有系统性又带有跳跃性的搜索算法。它在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根节点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任一结点时，先判断该节点是否包含问题的解。
  如果不包含，则跳过对以该节点为根的子树的搜索，逐层向其它祖先节点回溯。
  否则，进入该子树，继续按照深度优先策略搜索。回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根节点的所有子树都已被搜索遍才结束。
• 基本步骤：

1. 针对所给问题，定义问题的解空间
2. 确定易于搜索的解空间结构
3. 以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索

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回溯法下的图着色问题

过程：

1. 将上述无向图转换为邻接矩阵Graph，并根据四色定理定义颜色数量m为4
2. 由深度优先搜索解空间树，方法如下：
   a) 取结点，并为结点上色
   b) 判断当前结点的颜色是否为有效颜色（即不和相邻的顶点颜色一样）
   c) 若为有效颜色，则按深度优先取下一个结点
   d) 若为无效颜色，则换下一个颜色继续进行b步骤
   e) 若所有颜色都为无效颜色，将当前结点颜色置为0，并回溯到上一个结点，进行a步骤
   f) 当找到了一个解后，令全局变量sum值加一，并通过回溯搜索下一个解
   g) 重复上述步骤，直到所有解被找到
3. 输出所有的解以及统计解的个数

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回溯法图着色问题-Python代码

本代码为python3下的回溯法图着色问题
关键步骤已标记注释

import numpy as np
# 顶点个数
V=5

# 颜色种类
m=4

# 邻接矩阵
Graph=np.array([[0,1,1,1,0],[1,0,1,1,1],[1,1,0,1,0],[1,1,1,0,1],[0,1,0,1,0]])

# 颜色矩阵
C=np.zeros([1,5])

k=0
sum=0

#判断颜色是否有效
def judge_color(Graph,k,C):
    for i in range(len(Graph[k])):
        if Graph[k][i]!=0 and C[0][k]==C[0][i]:
            return 0
    return 1

#利用回溯寻找着色问题的解个数以及解形式
def backtrace(k,C,V,Graph):
	global sum
	if k<V:
		for color in range(1,m+1):
			C[0][k]=color
			# 判断是否满足条件，若满足条件则回溯
			if judge_color(Graph,k,C):
				backtrace(k+1,C,V,Graph) 
			C[0][k]=0
	else:
		#输出解新式
		print(C[0])
		sum+=1
    	              
backtrace(0,C,V,Graph)
print("There are %d solutions"%sum)
        

• 测试运行
  

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分界线

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Date：2020/1/19           
Category：算法设计
Author：Ver.
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