导向滤波(Guided Filter)公式详解

Guided Filter

导向滤波

Guided Image Filtering - 何恺明 2009

  导向滤波（Guided Filtering）和双边滤波（BF）、最小二乘滤波（WLS）是三大边缘保持（Edge-perserving）滤波器。当然，引导滤波的功能不仅仅是边缘保持，只有当引导图是原图的时候，它就成了一个边缘保持滤波器。
  它在图像去雾，图像抠图上均有相应的应用。

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原理

  对于一个输入的图像$p$，通过引导图像$I$，经过滤波后得到输出图像$q$，其中$p$和$I$都是算法的输入。引导滤波定义了如下所示的一个线性滤波过程，对于$i$位置的像素点，得到的滤波输出是一个加权平均值：
$$q_i=\sum _j{W}_{ij}(I)pj,\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中，$i$和$j$分别表示像素下标。$W_{ij}$是只和引导图像$I$相关的滤波核。该滤波器相对于$p$是线性的。
  导向滤波的一个重要假设是输出图像$q$和引导图像$I$在滤波窗口$w_k$上存在局部线性关系：
$$q_i=a_k{I}_i+b_k,\forall i\in w_k,\text{\hspace{1em}(2)}$$
对于一个以$r$为半径的确定的窗口$w_k$，（$a_k$，$b_k$）也将是唯一确定的常量系数。这就保证了在一个局部区域里，如果引导图像$I$有一个边缘的时候，输出图像$q$也保持边缘不变，因为对于相邻的像素点而言，存在$\nabla q=a\nabla I$。因此只要求解得到了系数$a$，$b$也就得到了输出$q$。同时认为输入图像中非边缘区域又不平滑的地方视为噪声$n$，就有$q_i=p_i-n_i$。最终的目标就是最小化这个噪声。对于每一个滤波窗口，该算法在最小二乘意义上的最优化可表示为$$\begin{gathered} argmin\sum _{i\in w_k}(q_i-p_i{)}^2 \\ argmin\sum _{i\in w_k}(a_k{I}_i+b_k-p_i{)}^2\text{\hspace{1em}(3)} \end{gathered}$$
最后，引入一个正则化参数$ϵ$避免$a_k$过大，得到滤波窗口内的损失函数：
$$E(a_k,b_k)=\sum _{i\in w_k}((a_k{I}_i+b_k-p_i{)}^2+ϵa_k^2).\text{\hspace{1em}(4)}$$
求解最优化过程（对参数求偏导）：
$$\frac{\delta E}{a_k}=\sum _{i\in w_k}(2(a_k{I}_i+b_k-p_i)(I_i)+2ϵa_k)=0$$
$$\frac{\delta E}{b_k}=\sum _{i\in w_k}(2(a_k{I}_i+b_k-p_i))=0$$
$$a_k=\frac{{\sum }_{i\in w_k}{p}_i{I}_i-b_k{\sum }_{i\in w_k}{I}_i}{{\sum }_{i\in w_k}(I_i^2+ϵ)}$$
$$b_k=\sum _{i\in w_k}{p}_i-a_k\sum _{i\in w_k}{I}_i$$
将$b_k$代入$a_k$，整理可得：
$$a_k=\frac{\frac{1}{\left|w\right|}{\sum }_{i\in w_k}{I}_i{p}_i-{\mu }_k{\bar{p}}_k}{{\sigma }_k^2+ϵ}\text{\hspace{1em}(5)}$$
$$b_k={\bar{p}}_k-a_k{\mu }_k.\text{\hspace{1em}(6)}$$
在这里，${\mu }_k$和${\sigma }_k^2$分别表示引导图像$I$在窗口$w_k$中的平均值和方差，$|w|$是窗口$w_k$中像素点的个数，${\bar{p}}_k=\frac{1}{|w|}{\sum }_{i\in w_k}{p}_i$是输入图像在窗口$w_k$中的平均值。
  接下来，只要把上述线性模型应用到整个图像的滤波窗口。但是可以看到，每一个像素点会被包含在多个窗口里。比如，如果用3*3的窗口滤波，那么除了边缘区域的每个点都会被包含在9个窗口里。因此，对于不同的窗口，我们将会得到$|w|$个$q_i$值，就对所有的$q_i$值取平均，得到最终结果：
$$q_i=\frac{1}{|w|}\sum _{k:i\in w_k}(a_k{I}_i+b_k)\text{\hspace{1em}(7)}$$
$$={\bar{a}}_i{I}_i+{\bar{b}}_i\text{\hspace{1em}(8)}$$
其中${\bar{a}}_i=\frac{1}{|w|}{\sum }_{k:i\in w_k}{a}_k$，${\bar{b}}_i=\frac{1}{|w|}{\sum }_{k:i\in w_k}{b}_k$。由此建立了每个像素点从$I$到$q$的映射。

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边缘保持

  对于该算法，当$I=p$时，即输入图像和引导图像是同一副图像时，该算法即成为一个边缘保持滤波器。同时，方程的解也可作如下表示：
$$a_k=\frac{{\sigma }_k^2}{{\sigma }_k^2+ϵ}$$$$b_k=(1-a_k){\bar{p}}_k$$
从中可以看出，$ϵ$在这里相当于界定平滑区域和边缘区域的阈值。

考虑以下两种情况：

• Case 1：平坦区域。如果在某个滤波窗口内，该区域是相对平滑的，方差${\sigma }_k^2$将远远小于$ϵ$。从而$a_k\approx 0,b_k\approx {\bar{p}}_k$。相当于对该区域作均值滤波。
• Case 2：高方差区域。相反，如果该区域是边缘区域，方差很大，${\sigma }_k^2$将远远大于$ϵ$。从而$a_k\approx 1,b_k\approx 0$。相当于在区域保持原有梯度。

  

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应用

1、以自身作为引导图的保边平滑滤波：

2、以原图引导的对透射率滤波的暗通道去雾

3、以原图引导的对权重图滤波的引导图像融合