暗通道去雾

暗通道先验

  暗通道先验是基于如下观察，在户外的无雾图像中，在大部分非天空区域，至少有一个通道值是很小一个数或趋近于零。因此，对任意一幅图$J$，给出暗通道$J^{dark}$的表示：
$$J^{dark}(X)=\underset{y\in \Omega (x)}{\min }(\underset{c\in \{r,g,b\}}{\min }{J}^c(Y)),\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中两个最小是各通道最小，局部窗口最小。即首先对图像每个像素取三通道中最小值，得到一个单通道图，然后对这个单通道图作最小值滤波就可以得到暗通道图$J^{dark}$。
  作者将造成这个现象的原因归结为以下三点：

• 各类物体的阴影，玻璃
• 彩色物体表面，如花草树木，蓝色的水面
• 黑色物体表面，如树干，石头等

  正因为自然界总是充满了彩色和阴影，就导致了图像暗通道总是很暗。为了验证这个先验知识，作者统计了大量图片，发现基本都符合这个先验。以下是几幅680*1024的风景图在不同大小滤波窗口下的暗通道图：



以上图像基本都符合暗通道先验，由此可见暗通道的普遍性。在暗通道先验的基础上，就可以进行去雾算法的推导。

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雾模型分析

在计算机视觉和计算机图形领域，一个常用来描述有雾图像的公式表达为：
$$I(x)=J(x)t(x)+A(1-t(x)),\text{\hspace{1em}(2)}$$其中，$I$表示有雾图像，$J$是要恢复的无雾的图像，$A$是全球大气光成分， $t(x)$为透射率。
  在这里主要剖析一下这个式子。对这个式子，本身的理解，大气光成分和图像中的景物本身就是真实存在的。晴天和雾天的区别只是大气光成分的多少，表达在这个式子里就是透射率。晴天的时候大气光成分少，物体反射光的透射率很高，几乎让人感受不到大气光成分的存在。雾天则相反。
  放在PS中理解，该模型几乎就是两个图层在不同透明度下的叠加。可以设透明度为$\alpha$。叠加后的图像为$$I=\alpha I_1+(1-\alpha )I_2$$因此，我们假设最大大气光成分为255，可以通过设置不同的透射率来产生不同的有雾图像，同样用上述的图片作实验。

不过，由于人为选定的$t(x)$在每个像素上都是一致的，所以会丢失景深的感觉。但是已经足以说明雾的生成，和去雾的思路。我们已知雾图，由式（2）去求解无雾的图像。同时，我们用无雾图的暗通道和人为生成$t(x)=0.5$的雾图暗通道进行对比。

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基于暗通道的去雾算法

首先假设大气光成分A已知。去雾模型（2）可以化为以下方程：$$\frac{I^c(x)}{A^c}=t(x)\frac{J^c(x)}{A^c}+1-t(x).\text{\hspace{1em}(3)}$$上标$c$即表示r,g,b三通道。
进一步假设每个滤波窗口内的透射率$t(x)$是常数，记为$\bar{t}(x).$然后对方程两边同时计算暗通道，即作两次最小值运算，可得下式：$$\underset{y\in \Omega (x)}{\min }(\underset{c}{\min }\frac{I^c(y)}{A^c})=\bar{t}(x)\underset{y\in \Omega (x)}{\min }(\underset{c}{\min }\frac{J^c(y)}{A^c})+1-\bar{t}(x).\text{\hspace{1em}(4)}$$因为$\bar{t}(x)$是常量，因此放在最小运算外面。
根据暗通道先验，$J$趋近于零：$$J^{dark}(x)=\underset{y\in \Omega (x)}{\min }(\underset{c}{\min }{J}^c(y))=0\text{\hspace{1em}(5)}$$因为$A^c$总是正值，可得：$$\underset{y\in \Omega (x)}{\min }(\underset{c}{\min }\frac{J^c(y)}{A^c})=0.\text{\hspace{1em}(6)}$$将式(6)代回式(4)，即可简单地得到透射率估计值：$$\bar{t}(x)=1-\underset{y\in \Omega (x)}{\min }(\underset{c}{\min }\frac{I^c(y)}{A^c}).\text{\hspace{1em}(7)}$$同时，即使是晴天，大气光成分还是存在的，尤其是在看远处的物体时给人的感觉更强。这种大气光成分会给人一种景深的层次感，去雾要有所保留。因此，引入一个常量参数$\omega (0<\omega <1)$用来控制去雾的程度：$$\bar{t}(x)=1-\omega \underset{y\in \Omega (x)}{\min }(\underset{c}{\min }\frac{I^c(y)}{A^c}).\text{\hspace{1em}(8)}$$作者在文中建议的$\omega$为0.95。
  在算法开始的地方就假设$A$是已知，那么具体如何得到A的值。作者在文中给出的方法是，在暗通道中找出前0.1%最亮的点，即透射率最小的点。对于这些点，去雾图中找到对于的点，并取它们中的所有通道最大的值作为$A$的近似。至此，透射率$t(x)$，大气光成分$A$，雾图$I$，都是已知了，就可以求解无雾图：$$J(x)=\frac{I(x)-A}{\max (t(x),t_0)}+A\text{\hspace{1em}(9)}$$其中，$t_0$为一个透射率下界。由于直接恢复时，当透射率$t(x)$接近零的时候，由式(2)可知，$J(x)t(x)$也为零，这就会失去原图信息，容易引入噪声，因此设置一个下界，在雾密度很大的地方，保留一定数量的雾。$t_0$的值一般取0.1。作者还提到，去雾后的图像一般会显得比较暗淡，可以适当增加曝光以得到更好的效果。

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导向滤波

  以原图灰度图作为导向图，对透射率图进行导向滤波，可以得到非常精细的透射率图，从而得到高质量的去雾图。这里再以之前人为生成的“雾图”说明导向滤波的效果。