题目链接
洛谷：https://www.luogu.org/problemnew/show/P4464
Solution
这题是真的毒....数论大杂烩，窝断断续续写了两天。
众所周知：
\[ {\rm lcm}(x,y)=\frac{xy}{\gcd(x,y)} \]
带进去，顺便枚举\(\gcd\)值套\(mobius\)反演公式然后换一下求和符号：
\[ \begin{align} ans=&n^y\sum_{d|n}d^{x-y}\sum_{i=1}^{n}i^y[\gcd(i,n)=1]\\ =&n^y\sum_{d|n}d^x\sum_{i=1}^{n/d}i^y[\gcd(id,n)=1]\\ =&n^y\sum_{d|n}d^x\sum_{i=1}^{n/d}i^y\sum_{t|i,t|\frac{n}{d}}\mu(t)\\ =&n^y\sum_{d|n}d^x\sum_{t|\frac{n}{d}}\mu(t)t^y\sum_{i=1}^{n/dt}i^y\\ \end{align} \]
众所周知，自然数\(k\)次幂和可以表示为一个\(k+1\)次多项式，设多项式系数为\(s\)，即：
\[ \sum_{i=1}^{n}i^y=\sum_{i=0}^{y+1}s_in^i \]
那么带进去顺便把\(s_i\)丢最前面：
\[ \begin{align} ans=&n^y\sum_{d|n}d^x\sum_{t|\frac{n}{d}}\mu(t)t^y\sum_{i=1}^{y+1}s_i(\frac{n}{dt})^i\\ =&n^y\sum_{i=1}^{y+1}s_i\sum_{d|n}d^{x}\sum_{t|\frac{n}{d}}\mu(t)t^{y}(\frac{n}{dt})^i\\ \end{align} \]
可以注意到后面是一个狄利克雷卷积的形式，设：
\[ f_i(n)=\sum_{d|n}d^{x}\sum_{t|\frac{n}{d}}\mu(t)t^{y}(\frac{n}{dt})^i\\ a(n)=d^n,b(n)=\mu(n)n^y,c_i(n)=n^i \]
显然：
\[ f_i=a*b*c_i \]
也就是说\(f_i\)是一个积性函数，我们只需要关系\(f(p^w)\)的值就好了，然后用\(\rm pollard\ rho\)分解\(n\)，暴力算就好了。
显然根据\(\mu\)函数的性质，\(f_i\)的定义式中枚举的\(t\)只有等于\(1\ or \ p\)的时候才有贡献，我们分类讨论：
\(t=1\)：
\[ f(n)=n^i\sum_{d|n}d^{x-i}\\ f(p^w)=p^{wi}\sum_{j=0}^{w}p^{j(x-i)} \]\(t=p\)：
\[ f(n)=-n^i\sum_{d|n}d^{x-i}p^{y-i}\\f(p^w)=-p^{wi+y-i}\sum_{j=0}^{w-1}p^{j(x-i)} \]
这里可以用等比数列求和，当然暴力枚举复杂度也是对的，本题复杂度瓶颈在质因数分解上，但是这题卡pollard rho常就很不友好。
那个自然数幂和的系数可以用伯努利数求，具体上百度，伯努利数直接大力预处理就好了。
然后就做完了，复杂度\(O(T\sqrt[4]{n}+Ty\log n+y^2)\)。
// #pragma GCC optimize(3)
#include
using namespace std;
template void read(T &x) {
x=0;T f=1;char ch=getchar();
for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}
void print(int x) {
if(x<0) putchar('-'),x=-x;
if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}
#define lf double
#define ll long long
#define pii pair
#define vec vector
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fr first
#define sc second
#define FOR(i,l,r) for(int i=l,i##_r=r;i<=i##_r;i++)
const int maxn = 4e3+10;
const int N = 3e3+10;
const int inf = 1e9;
const lf eps = 1e-8;
ll r[maxn],cnt;
namespace Pollard_rho {
const int pri[] = {0,2,3,5,7,11,13,23,31};
ll gcd(ll a,ll b) {return !b?a:gcd(b,a%b);}
ll mul(ll x,ll y,ll p) {
ll t=(long double)x*y/p;
ll res=x*y-t*p;res%=p;if(res<0) res+=p;
return res;
}
ll qpow(ll a,ll x,ll p) {
ll res=1;
for(;x;x>>=1,a=mul(a,a,p)) if(x&1) res=mul(res,a,p);
return res;
}
bool MR(ll n) {
if(n<2) return 1;
ll e=(n-1)>>__builtin_ctz(n-1);
for(int i=1;i<=8;i++) {
if(pri[i]>=n) break;
for(ll d=e,lst=qpow(pri[i],d,n),now;d!=n-1;d<<=1,lst=now) {
now=mul(lst,lst,n);
if(lst!=1&&lst!=n-1&&now==1) return 0;
}if(qpow(pri[i],n-1,n)!=1) return 0;
}return 1;
}
ll calc(ll n,ll v) {
ll a=rand()%n,b=a,g=1;
while(g==1) {
a=(mul(a,a,n)+v)%n;
b=(mul(b,b,n)+v)%n;
b=(mul(b,b,n)+v)%n;
g=gcd(abs(a-b),n);
}return g;
}
void PR(ll n) {
if(MR(n)) return n<2?0:r[++cnt]=n,void();
ll d=n;
while(d==n) d=calc(n,1ull*rand()*rand()*rand()*rand()%(n-1)+1);
PR(d),PR(n/d);
}
void divide(ll n) {
for(int i=1;i<=8;i++) while(n%pri[i]==0) n/=pri[i],r[++cnt]=pri[i];
PR(n);
}
}
const int mod = 1e9+7;
int fac[maxn],ifac[maxn],inv[maxn],b[maxn];
int add(int x,int y) {return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
int del(int x,int y) {return x-y<0?x-y+mod:x-y;}
int mul(int x,int y) {return 1ll*x*y-1ll*x*y/mod*mod;}
int c(int x,int y) {return mul(fac[x],mul(ifac[y],ifac[x-y]));}
int qpow(int a,int x) {
int res=1,f=0;if(x<0) x=-x,f=1;
for(;x;x>>=1,a=mul(a,a)) if(x&1) res=mul(res,a);
return f?qpow(res,mod-2):res;
}
namespace Bernoulli {
void sieve() {
fac[0]=ifac[0]=inv[0]=inv[1]=1;
for(int i=1;i