洛谷 P5686 [CSP-SJX2019]和积和

传送门

思路

应用多个前缀和推出式子即可

$30pts$：
首先如果暴力算的话很简单，直接套三层循环就好了(真的是三层！！最后两个$sigma$一起算就好了)
$$\sum _{l=1}^n\sum _{r=l}^n\sum _{i=l}^{r}a[i]\sum _{i=l}^{r}b[i]$$

$70pts$：
其实不用这么麻烦，我们发现最后两个$sigma$可以用前缀和$O(1)$算出来，这样就可以$70$分了（见代码$sub1$）

$100pts$：
考虑再拆一层循环（这里用$SA$和$SB$数组表示70分钟$a$数组和$b$数组的前缀和）

我觉得你可以自己展开式子（毕竟不能太懒嘛）

然后就会得到这样一个式子

$$\sum _{l=1}^n(SA[l]\ast SB[l]+SA[l+1]\ast SB[l+1]+...+SA[n]\ast SB[n])-(SA[l]+SA[l+1]+...+SA[n])\ast SB[l-1]$$
$$-(SB[l]+SB[l+1]+...+SB[n])\ast SA[l-1]+(n-l+1)\ast SA[l-1]\ast SB[l-1]$$

我们发现这些东西基本都可以用前缀和再求一遍，所以我们要求一下$(SA[l]\ast SB[l]+SA[l+1]\ast SB[l+1]+...+SA[n]\ast SB[n])$的前缀和（代码中为$woc$数组），求一下$SA$数组的前缀和（代码中为$qza$数组），求一下$SB$数组的前缀和（代码中为$qzb$数组），然后就可以$O(n)$做这道题啦

下面上代码

代码

#include 
#include 
#include 
#define int long long
using namespace std;

const int A = 5e5 + 11;
const int mod = 1e9 + 7;

inline int read() {
	char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
	for( ; !isdigit(c); c = getchar()) if(c == '-') f = -1; 
	for( ; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - 48;
	return x * f;
}

int n, a[A], b[A], ans = 0, SA[A], SB[A], qza[A], qzb[A];
int woc[A];

void sub1() {
	for(int l = 1; l <= n; l++) {
		for(int r = l; r <= n; r++) {
			ans = (ans + ((SA[r] - SA[l - 1]) % mod + mod) % mod * ((SB[r] - SB[l - 1]) % mod + mod)) % mod;
		}
	}
	cout << ans << '\n';
	return;
}

signed main() {
	n = read();
	for(int i = 1; i <= n; i++) a[i] = read(), SA[i] = (SA[i - 1] + a[i]) % mod;
	for(int i = 1; i <= n; i++) b[i] = read(), SB[i] = (SB[i - 1] + b[i]) % mod;
	if(n <= 3000) return sub1(), 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++) woc[i] = (woc[i - 1] + SA[i] * SB[i]) % mod; 
	for(int i = 1; i <= n; i++) qza[i] = (qza[i - 1] + SA[i]) % mod; 
	for(int i = 1; i <= n; i++) qzb[i] = (qzb[i - 1] + SB[i]) % mod;
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		int fuck1 = ((woc[n] - woc[i - 1]) % mod + mod) % mod;
		int fuck2 = ((qza[n] - qza[i - 1]) % mod + mod) % mod * SB[i - 1] % mod;	
		int fuck3 = ((qzb[n] - qzb[i - 1]) % mod + mod) % mod * SA[i - 1] % mod;
		int fuck4 = (((n - i + 1) % mod * SA[i - 1] % mod * SB[i - 1]) % mod + mod) % mod;
		int now = fuck1 - fuck2 - fuck3 + fuck4;
		ans = ((ans + now % mod) % mod + mod) % mod;
	}
	cout << ans << '\n';
	return 0;
}