B树、B-树、B+树的知识点（联系磁盘）

对于B开头的树，学了几遍忘几遍，最终在面试的时候遇到了，不会，面试挂了。所以今天好好打开数据结构的课本，看书+网上的资料，终于发现，课本上讲的特别清楚明白，当初怎么就学不会呢，还是不够用心啊。这里参考了http://blog.csdn.net/dazhong159/article/details/7963846这篇博客的内容，加上一些书上的内容，放到这里，供大家理解。

1、B树：二叉搜索树

B树就是二叉搜索树，所有非叶子节点至多拥有两个儿子，所有节点存储一个关键字，非叶子节点的左指针指向小于其关键字的子树，右指针指向大于其关键字的子树。实际使用的B树都是在原B树的基础上加上平衡算法，即“平衡二叉搜索树”。

二叉搜索树的插入删除搜索操作的平均时间复杂性为O（lgN），最坏的时间复杂性为O（n）。

而红黑树和AVL树的查找、插入、删除操作都能在对是时间内完成（平均和最坏情况）。两种结构的实际运行性能也很接近，AVL树一般会稍微快一些。

AVL树每次插入最多需要一次旋转，每次删除最多需要O（lgN）次旋转；而红黑树对于每个插入删除操作，都需要执行一次旋转。

2、外存储器——磁盘

计算机存储设备一般分为两种：内存储器和外存储器。内存存取速度快，但容量小，价格昂贵，而且不能长期保存数据（在不通电的情况下数据会消失）。

外存储器——磁盘是一种直接存取的存储设备（DASD）。它是以存取时间变化不大为特征的。可以直接存取任何字符组，且容量大，速度较其他外存设备更快。

2.1 磁盘的构造

磁盘是一个扁平的圆盘，盘面上有许多称为磁道的圆圈，数据就记录在这些磁道上。磁道可以是单片的，也可以是由若干盘片组成的盘组，每一盘片上有两个面。如下图所示的6片盘组为例，除去最顶端和最低端的外侧面不存储数据之外，一共有10个面可以用来保存信息。

当磁盘驱动器执行读写功能时，盘片装在一个主轴上，并绕主轴高速旋转，当磁道在读写头下通过时，就可以进行数据读写了。

一般磁盘分为固定头盘和活动头盘，固定头盘的每一个磁道上都有独立的磁头，它是固定不动的，专门负责这一磁道上数据的读写。

活动头盘的磁头是可移动的。每一个盘面上只有一个磁头（磁头是双向的，因此正反盘面都能读写）。它可以从该面的一个磁道移动到另一个磁道。所有磁头都装在同一个动臂上，因此不同盘面上的所有磁头都是同时移动的。当盘片绕主轴旋转的时候，磁头和旋转的盘片形成一个圆柱体。各个盘面上半径相同的磁道组成了一个圆柱面，我们称为柱面。因此，柱面的个数也就是盘面上的磁道数。

2.2 磁盘的读写原理和效率

磁盘上的数据必须用一个三维地址唯一标识：柱面号、盘面号、块号。读写磁盘上某一指定数据需要下面三个步骤：

（1）移动臂根据柱面号使磁头移动到需要的柱面上，这一过程被称为定位或查找。

（2）所有磁头都定位好以后，根据盘面号来确定指定盘面上的磁道。

（3）盘面确定以后，盘片开始旋转，将指定块号的磁道段移动至磁头下。

经过上面三个步骤，指定的数据存储位置就被找到。这时就可以开始读写操作了。访问某一具体信息，由三部分时间组成：查找时间，这部分代价最高；等待时间，也就是找到固定盘块所用的时间；传输时间。

磁盘读取数据是以盘块为基本单位的。位于同一盘快中的所有数据都能被一次性的全部读取出来。而磁盘IO代价主要花费在查找时间上，因此我们应该尽量将相关的信息存放在同一盘块、同一磁道中，或者至少放在同一柱面或相邻柱面上，以求在读写信息时尽量减少磁头来回移动的次数，避免过多的查找时间。

所以在大规模数据存储方面，大量数据存储在外存磁盘中，而在外存磁盘中读取写入数据时，先要定位到磁盘中的某块，如何有效地查找磁盘中的数据，需要一种高效合理的外存数据解雇，就是下面所要重点阐述的B-树结构，以及相关变种结构：B+树和B*树。

3、 B-树

性质：B-树是一种多路搜索树（并不是二叉的）；

1、定义任意非叶子节点最多只有M个儿子，且M>2;

2、根节点的儿子数为[2,M];

3、除根节点以外的非叶子节点的儿子数为[M/2,M]；

4、每个节点至少存放M/2-1(取上整）和至多M-1个关键字（至少2个关键字）

5、非叶子结点的关键字个数=指向儿子的指针个数-1；

6、非叶子节点的关键字递增

7、非叶子节点的指针：与关键字的关系

8、所有叶子节点位于同一层。

搜索：从根节点开始，对节点内的关键字（有序）序列进行二分查找，如果命中则结束，否则进入查询关键字所属范围的儿子节点；重复，知道所对应的儿子指针为空或是已经是叶子节点；

1、关键字集合分布在整棵树中；

2、任何一个关键字出现且只出现在一个节点中；

3、搜索有可能在非叶子节点结束；

4、其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找；

5、自动层次控制，所有外部节点都位于同一层上；

6、由于限制了除根节点以外的非叶子节点，至少含有M/2个儿子，确保了节点的至少利用率，其最底层搜索性能为lgN；

7、B-树的性能总是等价于二分查找（与M值无关），没有B树平衡问题；

8、由于M/2的限制，在插入节点时，如果节点已满，则需要将节点分裂为两个各占M/2的节点；删除节点时，需要将两个不足M/2的兄弟节点合并。

当字典足够小，可以驻留在内存中时，AVL树和红黑书都能够保证获得很好的性能。对于较大的字典（外部字典或文件），它们必须存储在磁盘上，可以通过采用度数高的搜索树来改善字典的操作性能。在研究高度搜索树之前，先看一下用于外部字典的索引顺序访问方法（ISAM），这种方法提供了很好的顺序和随机访问。

要支持随机访问，索引是必不可少的。索引中包括每个块中的最大关键值。由于索引中包含的关键值的数量仅与块数相同，并且每个块一般都能储存很多元素，因此索引足以留在内存中。对关键之为k的元素做一次随机访问，首先只要寻得包含相应元素的块的索引，然后将相应的块从磁盘中取出并在其中寻找需要的元素。这样执行一次随机访问只需要一次磁盘访问就足够了。

这种技术可以扩充到更大的字典。这种字典能够跨越几个磁盘。现在，元素按升序被分配到各个磁盘以及每个磁盘的不同块中。每个磁盘都有一个块索引，其中保留了该磁盘每个快中的关键值。另外，有一个磁盘索引保存每个磁盘中的最大关键值，这个索引一般驻留在内存中。

m叉搜索树的高度是mh-1；

按照B-树的高度和元素个数公式（见笔记），因此，如果使用200序或者更高序的B-树，即使元素数量再多，树的高度也很小。实际上，B-树的序取决于磁盘块的大小和单个元素的大小。节点小于磁盘块大小并无好处，这是一位内每次磁盘访问只读或写一个块。节点大于磁盘块的大小会带来多重磁盘访问，每次磁盘访问都伴随一次搜索和时间延迟，因此节点大于磁盘块的大小也是不可取的。

4、B+树

性质：B+树是B-树的变体，也是一种多路搜索树：

1、其定义基本与B-树相同，除了：

2、非叶子节点的子树指针与关键字个数相同；

3、非叶子节点的子树指针P[i]，指向关键字值属于[k[i],k[i+1]）的子树（B-树是开区间）’

4、为所有叶子节点增加一个链指针；

5、所有关键字都在叶子结点出现；

B+树的搜索与B-树基本相同，区别是B+树只有达到叶子结点才命中（B-树可以在非叶子节点命中），其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找；

B+的特性：

1、所有关键字都出现在叶子节点的链表中（稠密索引），且链表中的关键字恰好是有序的；

2、不可能在非叶子节点命中；

3、非叶子节点相当于是叶子节点的索引（稀疏索引），叶子节点相当于是存储关键字数据的数据层；

4、更适合文件索引系统；

B+树的分裂：当一个节点满时，分配一个新的节点，并将原节点1/2的数据复制到新节点，最后在父节点中增加新节点的指针；B+树的分裂只影响原节点和父节点，而不会影响兄弟节点，所以它不需要指向兄弟的指针；

5、B*树

是从B+树的变体，在B+树的非根和非叶子节点再增加指向兄弟节点的指针；

B*树定义了非叶子节点关键字个数最少是2/3*M，即块的最低使用率是2/3.

B*树的分裂：当一个节点满时，如果它的下一个兄弟节点未满，那么将一部分数据转移到兄弟节点中，再在源节点插入关键字，最后修改父节点中兄弟节点的关键字（因为兄弟节点的关键字的范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原节点与兄弟节点之间增加新节点，并各复制1/3的数据到新节点，最后在父节点增加新节点的指针。所以B*树分配新节点的概率比B+树要低，空间使用率更高。