BZOJ3994[SDOI2015] 约数个数和

原题链接：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3994

约数个数和

Description

设d(x)为x的约数个数，给定N、M，求 ∑ni=1∑mj=1d(ij) ∑ i = 1 n ∑ j = 1 m d ( i j )

Input

输入文件包含多组测试数据。

第一行，一个整数T，表示测试数据的组数。

接下来的T行，每行两个整数N、M。

Output

T行，每行一个整数，表示你所求的答案。

Sample Input

2
7 4
5 6

Sample Output

110
121

HINT

1<=N, M<=50000
1<=T<=50000

题解

初始式子：

ans=∑i=1n∑j=1md(ij) a n s = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 m d ( i j )

首先，有这么一个结论（ 证明）：

d(ij)=∑x|i∑y|j[gcd(x,y)=1] d ( i j ) = ∑ x | i ∑ y | j [ g c d ( x , y ) = 1 ]

这样，原来的式子就变成了：

ans=∑i=1n∑j=1m∑x|i∑y|j[gcd(x,y)=1] a n s = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 m ∑ x | i ∑ y | j [ g c d ( x , y ) = 1 ]

我们再将 [gcd(x,y)=1] [ g c d ( x , y ) = 1 ] 加以替换（证明）

ans=∑i=1n∑j=1m∑x|i∑y|j∑d|gcd(x,y)μ(d) a n s = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 m ∑ x | i ∑ y | j ∑ d | g c d ( x , y ) μ ( d )

我们考虑枚举 d d ，因此 d d 要满足 [d|gcd(x,y)] [ d | g c d ( x , y ) ] ：

ans=∑i=1n∑j=1m∑x|i∑y|j∑d=1min(x,y)μ(d)[d|gcd(x,y)] a n s = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 m ∑ x | i ∑ y | j ∑ d = 1 m i n ( x , y ) μ ( d ) [ d | g c d ( x , y ) ]

我们考虑直接枚举 d d ：

ans=∑d=1min(n,m)μ(d)∑i=1n∑j=1m∑x|i∑y|j[d|gcd(x,y)] a n s = ∑ d = 1 m i n ( n , m ) μ ( d ) ∑ i = 1 n ∑ j = 1 m ∑ x | i ∑ y | j [ d | g c d ( x , y ) ]

我们再从枚举 i,j i , j 变为枚举 x,y x , y ，那么满足 x|i,y|j x | i , y | j 的 x,y x , y 就分别有 ⌊nx⌋,⌊my⌋ ⌊ n x ⌋ , ⌊ m y ⌋ 个，代入：

ans=∑d=1min(n,m)μ(d)∑x=1n∑y=1m⌊nx⌋⌊my⌋[d|gcd(x,y)] a n s = ∑ d = 1 m i n ( n , m ) μ ( d ) ∑ x = 1 n ∑ y = 1 m ⌊ n x ⌋ ⌊ m y ⌋ [ d | g c d ( x , y ) ]

进一步的， [d|gcd(x,y)] [ d | g c d ( x , y ) ] 这个判定条件十分碍眼，我们需要消去它。于是，我们不再单纯枚举 x,y x , y ，直接枚举 d d 的倍数 x×d,y×d x × d , y × d ：

ans=∑d=1min(n,m)μ(d)∑x=1⌊nd⌋∑y=1⌊md⌋⌊ndx⌋⌊mdy⌋ a n s = ∑ d = 1 m i n ( n , m ) μ ( d ) ∑ x = 1 ⌊ n d ⌋ ∑ y = 1 ⌊ m d ⌋ ⌊ n d x ⌋ ⌊ m d y ⌋

由于， ⌊ndx⌋ ⌊ n d x ⌋ 只与 n,d,x n , d , x 有关，所以可以提前：

ans=∑d=1min(n,m)μ(d)∑x=1⌊nd⌋⌊ndx⌋∑y=1⌊md⌋⌊mdy⌋ a n s = ∑ d = 1 m i n ( n , m ) μ ( d ) ∑ x = 1 ⌊ n d ⌋ ⌊ n d x ⌋ ∑ y = 1 ⌊ m d ⌋ ⌊ m d y ⌋

考虑这个形状：

∑i=1n⌊ni⌋ ∑ i = 1 n ⌊ n i ⌋

我们可以发现， ⌊ni⌋ ⌊ n i ⌋ 相当于统计 1∼n 1 ∼ n 中，能被 i i 整除的数有多少，那么 ∑ni=1⌊ni⌋ ∑ i = 1 n ⌊ n i ⌋ 就是统计了 1∼n 1 ∼ n 中，所有数的因数有多少个，即 1∼n 1 ∼ n 的因数个数和：

∑i=1n⌊ni⌋⇔∑i=1nσ0(i) ∑ i = 1 n ⌊ n i ⌋ ⇔ ∑ i = 1 n σ 0 ( i )

注： σ0(x) σ 0 ( x ) 函数与 d(x) d ( x ) 函数意义相同，都表示约数个数，这里为了不与第一个 Σ Σ 中的 d d 混淆，使用 σ0(x) σ 0 ( x )

那么，最终形态就变成了：

ans=∑d=1min(n,m)μ(d)∑x=1⌊nd⌋σ0(x)∑y=1⌊md⌋σ0(y) a n s = ∑ d = 1 m i n ( n , m ) μ ( d ) ∑ x = 1 ⌊ n d ⌋ σ 0 ( x ) ∑ y = 1 ⌊ m d ⌋ σ 0 ( y )

σ0(x) σ 0 ( x ) 为积性函数，资瓷线筛，因此我们可以预处理前缀和，再利用下底分块，我们便能 O(n−−√) O ( n ) 回答询问。

代码

#include
#define R register int
using namespace std;
const int M=5e4+5,N=5e4;
int miu[M],d[M],p[M],num[M],T;
bool check[M];
void get()
{
    R i,j,t;
    miu[1]=d[1]=check[1]=1;
    for(i=2;i<=N;++i)
    {
        if(!check[i])miu[i]=-1,d[i]=2,num[i]=1,p[++p[0]]=i;
        for(j=1;j<=p[0];++j)
        {
            t=i*p[j];if(t>N)break;
            check[t]=1;
            if(i%p[j]==0){miu[t]=0;num[t]=num[i]+1;d[t]=d[i]/(num[i]+1)*(num[i]+2);break;}
            miu[t]=-miu[i],num[t]=1,d[t]=d[i]<<1;
        }
        d[i]+=d[i-1],miu[i]+=miu[i-1];
    }
}
long long ans;
void f(int n,int m)
{
    R l,r;ans=0;
    if(n>m)swap(n,m);
    for(l=1;l<=n;l=r+1)r=min(n/(n/l),m/(m/l)),ans+=1ll*(miu[r]-miu[l-1])*d[n/l]*d[m/l];
}
void in(){get();scanf("%d",&T);}
void ac()
{
    R a,b,i;
    for(i=1;i<=T;++i)
    scanf("%d%d",&a,&b),f(a,b),printf("%lld\n",ans);
}
int main()
{
    in();ac();
    return 0;
}