《现代永磁控制电机原理及MATLAB仿真》 读书笔记（三）

本读书笔记分成两部分，书籍原句摘抄和知识整理，本章感悟。

书籍原句摘抄和知识整理

第三章 三相永磁电机的矢量控制

3.1 PMSM的滞环电流控制

对于三相 PMSM 矢量控制技术而言，通常包括转速控制环、电流控制环和 PWM 控制算法 3 个主要部分 。其中，转速控制环的作用是控制电机的转速，使其能够达到既能调速又能稳速的目的；而电流控制环的作用在于加快系统的动态调节过程，使得电机定子电流更好地接近给定的电流矢量 。
对于旋转坐标系下的电流控制，目前常用的是滞环电流控制和 PI 电流控制等。

3.1.1 滞环电流控制的基本原理
在电压源逆变器中，滞环电流控制提供了 一种控制瞬态电流输出的方法 。其基本思想是将电流给定信号与检测到的逆变器实际输出电流信号相比较，若实际电流值大于给定值，则通过改变逆变器的开关状态使之减小，反之增大。这样，实际电流围绕给定电流波形作锯齿状变化，并将偏差限制在一定范围内。因此，采用滞环电流控制的逆变器系统包括转速控制环和一个采用 Bang-Bang 控制（滞环控制）的电流闭环，这将加快动态调节和抑制环内扰动，而且这种电流控制方法简单，且不依赖于电机参数，鲁棒性好。其缺点在于 ：逆变器的开关频率随着电机运行状况的不同而发生变化，其变化范围非常大，运行不规则，输出电流波形脉动较大，并且这些变化都会带来噪声 。 虽然可以利用引人频率锁定环节或改用同步开关型的数字实现方法来克服上述缺点，但是实现起来比较复杂。实际上，因为三相之间的相互联系，电流的纹波值可以达到两倍的滞环大小。



3.1.2 仿真建模与结果分析

由上图可以看出转速环用PI控制器控制q轴电流，使d轴电流为零，然后和角度合成旋转的$i_{ab{c}^{\ast }}$.其中PWMInverter是滞环电流控制模块。其输入是转速输出的$i_{ab{c}^{\ast }}$，反馈是测量的$i_{abc}$输出的是$V_{abc}$直接给了电机。


仿真参数设置：
电机参数为：极对数n = 4,定子电感 $L_d=L_q=8.5mH$，定子电阻 R =2 . 875 D ， 磁链${\Psi }_f=0.175Wb$，转动惯量J=0.000 8 kg • m2 ，阻尼系数 B= 0。
仿真条件设置：
采用变步长 ode23tb 算法 ，相对误差（ Relative Tolerance）设置为 0. 000 1 ，仿真时间设置为 0. 1 s 。另 外，滞环电流控制（ Relay）的开关切换点为［0.05 - 0.05 ］，输出为［150 -150 ］。 转速环 PI调节器的参数设置为$K_p=0.06,K_i=1$。
另外我认为单相比较的传递函数$\frac{1}{5e-6s+1}$有稳定的作用，但是删除后的电流波形与删除前一模一样。令我百思不得其解。

3.2 PMSM 的 PI 电流控制

目前传统的矢量控制常见的方法有 $i_d=0$控制和最大转矩电流比(MTPA)控制，前者主要适用于表贴式三相 PMSM ，后者主要用于内置式三相 PMSM。值得说明的是，对于表贴式三相 PMSM, $i_d=0$控制和最大转矩电流比控制是等价的 。下图是三相电机矢量控制框图

3. 2. 1 转速环 PI 调节器的参数整定
三相 PMSM 的电机运动方程为$$J\frac{\mathrm{d}{\omega }_m}{\mathrm{d}t}=T_e-T_L-B{\omega }_m$$
$$T_e=\frac{3}{2}{p}_n{i}_q[i_d(L_d-L_q)+{\Psi }_f]$$
设有功阻尼$$i_q=i_q^{{}^{\prime }}+B_a{\omega }_m$$
采用 $i_d=0$并且空载$T_L=0$情况下
$$\frac{\mathrm{d}{\omega }_m}{\mathrm{d}t}=\frac{1.5p_n{\Psi }_f}{J}(i_q^{{}^{\prime }}-B_a{\omega }_m)-\frac{B}{J}{\omega }_m$$
将上式的极点配置到期望的闭环带宽$\beta$，可以得到转速相对于 q 轴电流的传递函数为
$${\omega }_m(s)=\frac{1.5p_n{\Psi }_f/J}{s+\beta }{i}_q^{{}^{\prime }}(s)$$
由上两个式得：$$B_a=\frac{\beta J-B}{1.5p_n{\Psi }_f}$$
若采用传统PI调节器，转速的表达式为：
$$i_q^{\ast }=(K_{p\omega }+\frac{K_{i\omega }}{s})({\omega }_m^{\ast }-{\omega }_m)-B_a{\omega }_m$$
因此PI调节器的参数$K_{p\omega }，K_{i\omega }$由下式整定
$$\{\begin{array}{c}{K}_{p\omega }=\frac{\beta J}{1.5p_n{\Psi }_f}\\ \\ K_{i\omega }=\beta K_{p\omega }\end{array}$$
其中$\beta$是转速环期望的频带带宽。
下图是速度环PI的仿真模型

3.2.2 电流环 PI 调节器的参数整定
d-q坐标系下的电流方程：
$$\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{d}{i}_d}{\mathrm{d}t}=-\frac{R}{L}{i}_d+\frac{L_q}{L_d}{\omega }_e{i}_q+\frac{1}{L_d}{u}_d\\ \frac{\mathrm{d}{i}_q}{\mathrm{d}t}=-\frac{R}{L}{i}_d-\frac{1}{L_q}{\omega }_e(L_d{i}_d+{\Psi }_f)+\frac{1}{L_q}{u}_q\end{array}$$
从上式可以看出，定子电流 $i_d,i_q$ 分别在 q 轴和 d 轴方向产生交叉搞合电动势。若 $i_d,i_q$ 完全解耦，上式可变为
$$\{\begin{array}{c}{u}_{d0}=u_d+{\omega }_e{L}_q{i}_q=R{i}_d+\frac{\mathrm{d}{i}_d}{\mathrm{d}t}\\ u_{q0}=u_q-{\omega }_e(L_d{i}_d+{\Psi }_f)=R{i}_q+L_q\frac{\mathrm{d}{i}_q}{\mathrm{d}t}\end{array}$$
其中 ： $u_{d0},u_{q0}$分别为电流解后的 d 轴和 q 轴电压 。
进行拉普拉斯变换后，可得
$$Y_{(s)}=G_{(s)}{U}_{(s)}$$
其中$U_{(s)}=\left[\begin{array}{c}{u}_{d0(s)}\\ u_{q0(s)}\end{array}\right]$ $Y_{(s)}=\left[\begin{array}{c}{i}_{d0(s)}\\ i_{q0(s)}\end{array}\right]$ $G_{(s)}=\left[\begin{array}{cc}R+s{L}_d& 0\\ 0& R+s{L}_q\end{array}\right]$
采用常规的 Pl 调节器并结合前馈解藕控制策略，可得到 d-q 轴的电压为
$$\{\begin{array}{c}{u}_d^{\ast }=(K_{pd}+\frac{K_{id}}{s})(i_d^{\ast }-i_d)-{\omega }_e{L}_q{i}_q\\ u_q^{\ast }=(K_{pq}+\frac{K_{iq}}{s})(i_q^{\ast }-i_q)-{\omega }_e(L_d{i}_d+{\Psi }_f)\end{array}$$
当采用前馈解耦控制策略时，虽然 PI 控制器的参数可以按照自动控制理论中的典型 I 系统进行设计，但该方法却仅当电机的实际参数与模型参数匹配时，交叉耦合电动势才能得到完全解耦。然而，由于内置式三相 PMSM 凸极效应的存在，模型误差给系统造成的影响不可忽略，因而这种解耦方式并不能实现完全解耦。为了解决此问题，应该选取一种对模型精度要求低且对参数变化不敏感的控制策略，而内模控制器具有结构简单、参数单一 以及在线计算方便等优点。因此可以采用下图 所示的内模控制策略进行参数设计。

其等效控制器为$$F(s)=[I-C(s)G(s){]}^{-1}C(s)$$其中I为单位矩阵。
如果内模建模精确，即 $G(s)=G(s)$，则 系统不存在反馈环节 ，此时系统传递函数为式一$$G_c(s)=G(s)C(s)(1)$$
因此要保证系统稳定，只有当且仅当 G (s) 和 C(s）稳定 。
由于电机的电磁时间常数比机械时间常数小很多，控制系统的电流环可近似看作一阶系统，根据 $G(s)=G(s)$，定义$$C(s)=G^{-1}(s)L(s)$$
其中： $L(s)=\alpha I/(s+\alpha )$,$\alpha$ 为设计参数。
将上式带入等效控制器，可得内膜控制器为式二$$F(s)=\alpha \left[\begin{array}{cc}{L}_d+\frac{R}{s}& 0\\ 0& L_q+\frac{R}{s}\end{array}\right]$$
将式二代入式一中，可得$$G_c(s)=\frac{\alpha }{s+\alpha }$$
定义响应时间 $t_{res}$为系统响应从阶跃的 10% ～ 90% 所需的时间， 则 $\alpha$与 $t_{res}$的 关系近似为 $t_{res}=ln9/\alpha$。 由 $\alpha$与 $t_{res}$的关系可知，减小 $\alpha$将延长系统响应时间，增大$\alpha$将加快系统响应速度，但是 $\alpha$不能无限增大，实际中系统响应时间受电气时间常数的限制，电机的时间常数为 $$\{\begin{array}{c}{T}_d=\frac{L_d}{R}\\ \\ T_q=\frac{L_q}{R}\end{array}$$

3.4 基于滑模速度控制器的 PMSM 矢量控制

三相PMSM 是一个非线性、强藕合的多变量系统，当控制系统受到外界扰动的影响或电机内部参数发生变化时三相永磁交流调速，采用传统的 P l 调节器并不能满足实际的要求实际的要求 。 因此利用滑模控制（ Sliding Mode Control, SMC)对扰动与参数不敏感、 响应速度快等优点。

3.4.2 清模速度控制器的设计
以表贴式 PMSM 电机为例建立 d-q 坐标系下的数学模型为
$$\{\begin{array}{c}{u}_d=R{i}_d+L_s\frac{\mathrm{d}{i}_d}{\mathrm{d}t}-p_n{\omega }_m{L}_s{i}_q\\ \\ u_q=R{i}_q+L_s\frac{\mathrm{d}{i}_q}{\mathrm{d}t}+p_n{\omega }_m{L}_s{i}_d+p_n{\omega }_m{\Psi }_f\\ \\ J\frac{\mathrm{d}{\omega }_m}{\mathrm{d}t}=\frac{3}{2}{p}_n{\Psi }_f{i}_q-T_L\end{array}$$式中$L_s$为定子电感。
对于表贴式 PMSM 而言，采用 $i_d=0$ 的转子磁场定向控制方法即可获得较好的控制效果，此时上式 则可变为如下的数学模型
$$\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{d}{i}_q}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{L_s}(-R{i}_q-p_n{\Psi }_f{\omega }_m+u_q)\\ \\ \frac{\mathrm{d}{\omega }_m}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{J}(-T_L+\frac{3p_n{\Psi }_f}{2}{i}_q)\end{array}$$
定义PMSM 系统的状态变量：
$$\{\begin{array}{c}{x}_1={\omega }_{ref}-{\omega }_m\\ \\ x_2=\dot{x_1}=-{\omega }_m\end{array}$$
其中：${\omega }_{ref}$为电机的参考转速，${\omega }_m$为实际转速。
$$\{\begin{array}{c}\dot{x_1}=-\dot{{\omega }_m}=\frac{1}{J}(T_L-\frac{3p_n{\Psi }_f}{2}{i}_q)\\ \\ \dot{x_2}=-\ddot{{\omega }_m}=-\frac{3p_n{\Psi }_f}{2J}{i}_q\end{array}$$
定义$u={\dot{i}}_q,D=\frac{3p_n{\Psi }_f}{2J}$则上式可变为
$$\left[\begin{array}{c}\dot{x_1}\\ \dot{x_2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ -D\end{array}\right]u$$
定义滑膜面函数为$$s=c{x}_1+x_2$$其中：$c>0$为待设计参数。对上式求导，可得$$\dot{s}=c\dot{x_1}+\dot{x_2}=c{x}_2+\dot{x_2}=c{x}_2-Du$$为了保证三相 PMSM 驱动系统具有较好的动态品质，这里采用指数趋近律方法，可得控制器的表达式为$$u=\frac{1}{D}[c{x}_2+\epsilon sgn(s)+qs]$$从而可得q轴的参考电流为$$i_q^{\ast }=\frac{1}{D}{\int }_0^t[c{x}_2+\epsilon sgn(s)+qs]\mathrm{d}\tau$$从上式可以看出，由于控制器包含积分项，一方面可以削弱抖振现象，另一方面也可以消除系统的稳态误差，提高系统的控制品质。根据滑模到达条件 $s\dot{s}=0$，容易验证在控制器作用下，系统是渐近稳定的。
下图是simulink的仿真

首先转速差的转换
其次
$$s=c{x}_1+x_2$$
中间是
$$c{x}_2+\epsilon sgn(s)+qs$$
最后是
$$u=\frac{1}{D}{\int }_0^t[中间部分]\mathrm{d}\tau$$
参数如下图

5. 1 传统滑模观测器算法

大多数传统 SMO 算法的设计是基于静止坐标系下的数学模型的，重写电机的电压方程为$$\left[\begin{array}{c}{u}_{\alpha }\\ u_{\beta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}R+p{L}_d& & {\omega }_e(L_d-L_q)\\ -{\omega }_e(L_d-L_q)& & R+p{L}_q\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{E}_{\alpha }\\ E_{\beta }\end{array}\right]$$其中：$L_d,L_q$为定子电感；${\omega }_e$为电角速度；$p=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$为微分算子；${\left[\begin{array}{ccc}{E}_{\alpha }& & E_{\beta }\end{array}\right]}^T$为扩展反电动势(EMF)，且满足$$\left[\begin{array}{c}{E}_{\alpha }\\ E_{\beta }\end{array}\right]=[(L_d-L_q)({\omega }_e{i}_d-p{i}_q)+{\omega }_e{\Psi }_f]\left[\begin{array}{c}-sin{\Theta }_e\\ cos{\theta }_e\end{array}\right]$$

对于表贴式三相 PMSM($L_d=L_q=L_s$)，扩展反电动势的表达式将被简化为仅与电机的转速有关的变量。当转速较快时，反电动势较大，反之亦然 。 对于内置式三相 PMSM($L_d\ne L_q$）而言，从扩展反电动势的表达式可知：扩展反电动势的大小除了与电机的转速有关外，还与定子电流 id 和定子电流 i q 的微分 ρi q 有关，这意味着电机的负载状态将影响扩展反电动势的大小 。当电机运行在高速重载条件下时，定子电流具有扩展反电动势的表达式较大的变化，从而成为扩展反电动势畸变的重要成分。
由于内置式三相 PMSM 的扩展反电动势包含电机转子位置和转速的全部信息，所以只有准确获取扩展反电动势，才可以解算出电机的转速和位置信息 。 为便于应用 SMO 来观测扩展反电动势，将电机的电压方程改写为电流的状态方程形式：$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right]=A\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right]+\frac{1}{L_d}\left[\begin{array}{c}{u}_{\alpha }\\ u_{\beta }\end{array}\right]-\frac{1}{L_d}\left[\begin{array}{c}{E}_{\alpha }\\ E_{\beta }\end{array}\right]$$其中$A=\frac{1}{L_d}\left[\begin{array}{ccc}-R& & -(-L_d-L_q){\omega }_e\\ (L_d-L_q){\omega }_e& & -R\end{array}\right]$为了获得扩展反电动势的估计值，传统 SMO 的设计通常如下$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right]=A\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right]+\frac{1}{L_d}\left[\begin{array}{c}{u}_{\alpha }\\ u_{\beta }\end{array}\right]-\frac{1}{L_d}\left[\begin{array}{c}{v}_{\alpha }\\ v_{\beta }\end{array}\right]$$其中$i_{\alpha },i_{\beta }$为定子电流的观测值；$u_{\alpha },u_{\beta }$是观测器的控制输入。上两个公式相减
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right]=A\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right]+\frac{1}{L_d}\left[\begin{array}{c}{E}_{\alpha }-v_{\alpha }\\ E_{\beta }-v_{\beta }\end{array}\right]$$其中：$i_{\alpha }=i_{\alpha }-i_{\alpha },i_{\beta }=i_{\beta }-i_{\beta }$为电流观测误差。设计滑膜控制律$$\left[\begin{array}{c}{v}_{\alpha }\\ v_{\beta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}ksgn(i_{\alpha }-i\alpha )\\ ksgn(i_{\beta }-i_{\beta })\end{array}\right]$$
基于反正切函数的转子位置估计
由于实际的控制量是一个不连续的高频切换信号，为了提取连续的扩展反电动势估计值，通常需要外加一个低通滤波器，即

然而，对等效控制量进行低通滤波处理时，在高频切换信号滤除的同时，扩展反电动势的估计值将发生幅值和相位的变化。通常，为了获得转子位置信息，可通过反正切函数方法获得，即

滤波处理获得的反电动势估算分量会引发相位延迟，该延迟将直
接影响转子位置的估算准确性，较小的滤波截止频率将引发较大的相位延迟 。 在实
际应用中为解决该问题，通常需要在式（ 5 - 9 ）计算出转子位置的基础上再加上一个
角度补偿，用来弥补由于低通滤波器的延迟效应所造成的位置角度估算误差

基于锁相环的转子位置估计
由于滑模控制在滑动模态下伴随着高频抖动，因此估算的反电动势中将存在高频抖动现象。基于反正切函数的转子位置估计方法将这种抖动直接引入反正切函数的除法运算中，导致这种高频抖动的误差被放大，进而造成较大的角度估计误差。所以，采用锁相环（Phase-locked Loop, PLL)系统来提取转子的位置信息，如下图 所示。

自适应清模观测器设计
对于表贴式三相 PMSM ，重写静止坐标系下的电流方程为
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{i}_s=A{i}_s+B{u}_s+K_e{E}_s$$
其中：$A=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{R}{L_s}& & 0\\ 0& & -\frac{R}{L_s}\end{array}\right]$;$B=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{L_s}& & 0\\ 0& & -\frac{1}{L_s}\end{array}\right]$;$K_e=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{R}{L_s}& & 0\\ 0& & -\frac{R}{L_s}\end{array}\right]$; $I_s={\left[\begin{array}{ccc}{i}_{\alpha }& & i_{\beta }\end{array}\right]}^T$为定子电流；$u_s={\left[\begin{array}{ccc}{u}_{\alpha }& & u_{\beta }\end{array}\right]}^T$定子电压；$E_s={\left[\begin{array}{ccc}{E}_{\alpha }& & E_{\beta }\end{array}\right]}^T$为反电势且满足$$E_s=\left[\begin{array}{c}-{\Psi }_f{\omega }_{e}sin{\theta }_e\\ {\Psi }_f{\omega }_{e}cos{\theta }_e\end{array}\right]$$
为了设计SMO，首先定义滑膜面函数为

自适应SMO为$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t},i_s=A,i_s+B{u}_s+K_e,E_s+Ksign(s)$$
其中：$K_e=\left[\begin{array}{ccc}k& & 0\\ 0& & k\end{array}\right]$，k为负常数，且满足 $k<min[-\frac{R}{L_s}|i_{\alpha }|-\frac{1}{L_s}|E_{\alpha }|,-\frac{R}{L_s}|i_{\beta }|-\frac{1}{L_s}|E_{\beta }|]$;$E_s=\left[\begin{array}{c}-{\Psi }_f{\omega }_{e}sin{\theta }_e\\ {\Psi }_f{\omega }_{e}cos{\theta }_e\end{array}\right]$
由上式可得电流的误差方程为$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{i}_s=A{i}_s+K_e{E}_s+Ksign(s)$$
由于系统进入滑膜面后，即有$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{i}_s=i_s=0$可得

反电动势的自适应律设计为

我的感受

1. 和我认知有矛盾的地方：3.1中作者把滞环电流控制归到了电流控制里，我认为滞环电流属于电流控制和PWM控制算法合体。
2. 书中明确给出了参数整定的方法和步骤（和自动控制原理书的一致）：
   步骤：1. 列出微分方程。2.拉式变换得出传递函数。3.向调节器模型（PI调节）上靠近：$outpu{t}^{\ast }=(K_p+\frac{K_i}{s})(inpu{t}^{\ast }-intput)+C$。（应用一些特别的控制器（内膜控制器））或是应用别的调节器（SMC），有时也需要用李雅普诺夫函数证明一下其稳定性。4.经计算得出PI参数。5.做仿真验证。
3. 我用MATLAB-simulink库中标准的PID控制器代替上述那些非标的PI控制器，结果居然一模一样，有些颠覆我的观念。另外我所知的实际应用中PID控制器源码基本都是标准控制器。下图是标准PID控制器图

4. 依据书中介绍的内容，不难看出。现阶段主流的电控算法主要有PI控制和滑膜控制。