gcd求和问题（莫比乌斯反演）

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P2522 [HAOI2011]Problem b

P3455 [POI2007]ZAP-Queries

1、设  

2、那么有 ， 通过枚举  可以将式子  化简到 

3、通过莫比乌斯反演，可以得到 ，将  化掉得到式子 

4、令 ， ， 然后使用整除优化，询问时间复杂度 

P3455 [POI2007]ZAP-Queries   

    for (int i = 1; i < MAXN; i++) {
		mu[i] = (mu[i] + mu[i - 1]);
		phi[i] = (phi[i] + phi[i - 1]);
	}
}
int main()
{
	jzk();
	int T;
	sc("%d", &T);
	while(T--)
	{
		ll n, m, d;
		sc("%lld%lld%lld", &n, &m, &d);
		ll ans = 0, j;
		ll minn = min(n, m);
		for (ll i = 1; i <= minn; i = j + 1)
		{
			j = min(n / (n / i), m / (m / i));
			ans += (mu[j] - mu[i - 1]) * (n / i / d) * (m / i / d);
		}
		pr("%lld\n", ans);
	}
}

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P1447 [NOI2010]能量采集

1、设  

2、那么有 ， 通过枚举  可以将式子  化简到 

3、通过莫比乌斯反演，可以得到 ，将  化掉得到式子 

4、令 ，

5、所以原式 = ， 由 ， 可以得到  ，

所以原式 =  

6、令 ， 得到  ， 然后使用整除优化，询问时间复杂度 

P1447 [NOI2010]能量采集     

	for (int i = 1; i < MAXN; i++) {
		mu[i] = (mu[i] + mu[i - 1]);
		phi[i] = (phi[i] + phi[i - 1]);
	}
}
int main()
{
	jzk();
	ll n, m, d;
	sc("%lld%lld", &n, &m);
	ll ans = 0, j;
	ll minn = min(n, m);
	for (ll i = 1; i <= minn; i = j + 1)
	{
		j = min(n / (n / i), m / (m / i));
		ans += (phi[j] - phi[i - 1]) * (n / i) * (m / i);
	}
	pr("%lld\n", ans * 2 - n * m);
}

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P2257 YY的GCD

P2568 GCD

1、设  

2、那么有 ， 通过枚举  可以将式子  化简到 

3、通过莫比乌斯反演，可以得到 ，将  化掉得到式子 

4、令 ，

5、所以原式  

 

6、令 ， 反向枚举  得到  ， 注意，这里还有一个要求 ，

7、令 ， 我们考虑枚举质数  的取值，然后对与每一个满足  的 ，，即可在  的时间预处理出 ，得到式子 ，然后使用整除优化，询问时间复杂度 

P2257 YY的GCD   

    for (int i = 0; i < tot; i++)
		for (int j = prime[i], cnt = 1; j <= 1e7; j += prime[i], cnt++)
			g[j] += mu[cnt];
	for (int i = 2; i < MAXN; i++)
		g[i] += g[i - 1];
}
int main()
{
	jzk();
	int T;
	sc("%d", &T);
	while (T--)
	{
		ll n, m;
		sc("%lld%lld", &n, &m);
		ll minn = min(n, m);
		ll ans = 0;
		int j = 0;
		for (int i = 1; i <= minn; i = j + 1)
		{
			j = min(n / (n / i), m / (m / i));
			ans += (n / i) * (m / i) * (g[j] - g[i - 1]);
		}
		pr("%lld\n", ans);
	}
}

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P1829 [国家集训队]Crash的数字表格

P3768 简单的数学题 (需要用到杜教筛)

以第一个式子为例：

1、将式子的  拆成  得到 ， 设  

2、那么有 ， 通过枚举  可以将式子  化简到 ， 考虑将  同时缩小  倍，那么可以将式子化简到  

（由于我在第一步中定义函数  中重复使用了变量名 ，所以上面这个式子的  的意义是不一样的， 中的  表示的是最大公因数， 中的  表示的是函数的自变量）

3、通过莫比乌斯反演，可以得到 ，将  化掉得到式子 

4、令 ，

5、所以原式  ，化简得到 

6、所以使用两次整除分块就可以算出上述式子，询问时间复杂度 

P1829 [国家集训队]Crash的数字表格   

    for (int i = 1; i <= MAXN; i++) {
		mu[i] = mu[i] * i % mod * i % mod + mu[i - 1];
		phi[i] += phi[i - 1];
	}
}
ll calc(ll n)
{
	return (n * (n + 1) / 2) % mod;
}
ll func(ll n, ll m)
{
	ll ans = 0, j;
	ll minn = min(m, n);
	for (int i = 1; i <= minn; i = j + 1)
	{
		j = min(n / (n / i), m / (m / i));
		ans = (ans + (mu[j] - mu[i - 1] + mod) * calc(n / i) % mod * calc(m / i) % mod) % mod;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	jzk();
	ll n, m;
	sc("%lld%lld", &n, &m);
	ll ans = 0, j;
	ll minn = min(n, m);
	for (int i = 1; i <= minn; i = j + 1)
	{
		j = min(n / (n / i), m / (m / i));
		ans = (ans + 1LL * (calc(j) - calc(i - 1) + mod) * func(n / i, m / i)) % mod;
	}
	pr("%lld\n", ans);
}

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      表示  的约数个数

P3327 [SDOI2015]约数个数和

1、 化简得到 ， 枚举  得到 

2、发现最后两个求和符号可以变成公式，所以得到  

3、设  

4、那么有 ， 通过枚举  可以将式子  化简得到  

5、通过莫比乌斯反演，可以得到 ，将  化掉得到式子 

6、所以原式 ， 化简得到 

7、令 ， 所以得到 ，一种朴素的方法是，对于每一个 ，使用整除分块来处理，预处理复杂度 ，不过也存在线性的解法，对于每一个 ，求出  的倍数的个数，所以  实际上就是 ， 其中  表示约数个数，由于函数  是积性函数，可以线性筛出，预处理复杂度 

8、然后整除分块，就可以求出 ， 询问时间复杂度 

P3327 [SDOI2015]约数个数和   

	for (int i = 1; i < MAXN; i++) {
		mu[i] = (mu[i] + mu[i - 1]);
		phi[i] = (phi[i] + phi[i - 1]);
	}
	for (int i = 1; i < MAXN; i++)
	{
		ll ans = 0, j;
		for (int k = 1; k <= i; k = j + 1)
		{
			j = i / (i / k);
			ans += (j - k + 1) * (i / k);
		}
		sub[i] = ans;
	}
}
int main()
{
	jzk();
	int T;
	sc("%d", &T);
	while (T--)
	{
		ll n, m, d;
		sc("%lld%lld", &n, &m);
		ll ans = 0, j;
		ll minn = min(n, m);
		for (ll i = 1; i <= minn; i = j + 1)
		{
			j = min(n / (n / i), m / (m / i));
			ans += (mu[j] - mu[i - 1]) * sub[n / i] * sub[m / i];
		}
		pr("%lld\n", ans);//gcd
	}
}

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P3704 [SDOI2017]数字表格

1、先将式子化简，考虑枚举 ，化简得到 ，显然指数的式子可以化简成 

2、考虑指数的加法就是底数的乘法，所以进一步化简得到 

3、令 ，考虑直接枚举  得到 ，考虑将括号里面作为一个整体，因为我们知道，函数  只有三个取值 ，所以这个次方只需要预处理  和 他的逆元即可，然后暴力枚举括号里面的式子，再整除分块即可。

4、有一个小优化，由于  是质数，所以  ，所以可以在整除分块的时候让指数对  取模（时间差了一倍）,询问时间复杂度 

P3704 [SDOI2017]数字表格  

	fib[0] = 0, fib[1] = 1;
	inv[0] = 0, inv[1] = 1;
	for (int i = 2; i < MAXN; i++)
	{
		fib[i] = (fib[i - 1] + fib[i - 2]) % mod;
		inv[i] = power(fib[i], mod - 2) % mod;
	}
	for (int i = 0; i < MAXN; i++)
		sub[i] = 1;
	for (ll d = 1; d < MAXN; d++)
	{
		if (mu[d] == 0)
			continue;
		for (ll T = d, k = 1; T < MAXN; T += d, k++)
		{
			if (mu[d] == 1)
				sub[T] = (sub[T] * fib[k]) % mod;
			else if (mu[d] == -1)
				sub[T] = (sub[T] * inv[k]) % mod;
		}
	}
	inv[0] = power(sub[0], mod - 2);
	for (int i = 1; i < MAXN; i++)
	{
		sub[i] = (sub[i] * sub[i - 1]) % mod;
		inv[i] = power(sub[i], mod - 2);
	}
}
int main()
{
	jzk();
	int T;
	sc("%d", &T);
	while (T--)
	{
		ll n, m;
		sc("%lld%lld", &n, &m);
		ll ans = 1, j;
		ll minn = min(n, m);
		for (int i = 1; i <= minn; i = j + 1)
		{
			j = min(n / (n / i), m / (m / i));
			ans = (ans * power(sub[j] * inv[i - 1] % mod, (n / i) * (m / i) % (mod - 1))) % mod;
		}
		pr("%lld\n", ans);
	}
}

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参考博客链接：

 https://blog.csdn.net/fo0old/article/details/82020110

https://blog.csdn.net/jk_chen_acmer/article/details/82708274

莫比乌斯反演公式证明：https://blog.csdn.net/litble/article/details/72804050

分块优化证明：https://blog.csdn.net/outer_form/article/details/50590197

贼详细的各种反演和解释：https://www.luogu.org/blog/An-Amazing-Blog/mu-bi-wu-si-fan-yan-ji-ge-ji-miao-di-dong-xi