暑期集训day22考试整理

T1:置换

暑期集训day22考试整理_第1张图片

题目大意:

给一些数,让你求出这些数翻转后的总和

思路:

1.暴力翻转(\(90pts\))

暴力就完事了,不过当时以为时间复杂度没问题,就直接跳了,没想到被搞了\(30\)\(pts\)

对每一个数转成二进制,然后翻转。理想时间复杂度:\(O(2^k*25)\)

由于带了个\(25\)的数,所以直接\(T\)

代码:

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn=1e6+5,INF=0x3f3f3f3f;
char buf[1 << 20], *p1 = buf, *p2 = buf;
char getc() {
	if(p1 == p2) {
		p1 = buf;
		p2 = buf + fread(buf, 1, 1 << 20, stdin);
		if(p1 == p2) return EOF;
	}
	return *p1++;
}
inline int read(){
	int s=0,w=1;
	char ch=getc();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getc();}
	while(ch>='0'&&ch<='9')s=s*10+ch-'0',ch=getc();
	return s*w;
}
const int p = 99824353;
int Seed,n,k,a[maxn],ans;
signed main(){
	n = read(), k = read(), Seed = read();
	int c[31]={},tot=0,sum=0;
	int x;
	for(register int i=1;i<=n;i++){
		Seed=(214013LL*Seed+2531011)&((1< 99824353) ans -= p;
	}
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}

2.递推(\(100pts\))

由于数的上限是\(2^{25}\),所以可以直接把每一个二进制数翻转后的数给预处理出来,柿子:

\[a_i=a_{i>>1}>>1+(i与1)<<(k-1) \]

(别问我为什么不写\(&\),latex打不出来这玩意)

表示这一二进制数可由前一位二进制数转移过来

举个例子:

\(10111\)翻转后是\(11101\)

\(10111\)要从\(01011\)转移过来

\(01011\)翻转后是\(11010\)

\(11010\)--->\(11101\) 的过程是\(a>>1|((i与1)<<(k-1))\)

时间效率:\(O(2^{25})\)

代码:

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn=(1<<25)+5,INF=0x3f3f3f3f,p = 99824353;
char buf[1<<20],*p1=buf,*p2=buf;
int Seed,n,k,a[maxn],ans;
char getc(){
	if(p1==p2){
		p1=buf;
		p2=buf+fread(buf,1,1<<20,stdin);
		if(p1==p2)return EOF;
	}
	return *p1++;
}
inline int read(){
	int s=0,w=1;
	char ch=getc();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getc();}
	while(ch>='0'&&ch<='9')s=s*10+ch-'0',ch=getc();
	return s*w;
}
int main(){
	n=read(),k=read(),Seed=read();
	int c[31]={},tot=0,sum=0;
	for(int i=0;i<=(1<>1]>>1)|((i&1)<<(k-1));
		//cout<

T2:字符串

暑期集训day22考试整理_第2张图片

题目大意:

对于后一半的字符串,咨询是否有回文中心且回文串的一半是回文中心到字符串尾,对于前一半的字符串,不断跳跃到回文串的结尾,看最后结尾是否是字符串尾

考场爆零了,唉

关键:

暑期集训day22考试整理_第3张图片
加了特判:
特判一删:

我真天才昨天就为了多拿点部分分,加几个特判,\(40pts\)-->\(20pts\),今天又在这跌倒了

1.暴力(\(60pts\))

暴力,暴力就完事了

如果是字符串后一半,直接检查是否存在回文串到字符串尾;如果是前一半,就不断跳跃,每一次跳到回文串尾,看是否能到达字符串尾

最差效率:\(O(n^2)\) (但是常数极其小,可能是\(n\sqrt n\)的)

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn=1e6+5,INF=0x3f3f3f3f;
inline int read(){
	int s=0,w=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9')s=s*10+ch-'0',ch=getchar();
	return s*w;
}
int n,path[maxn];
char a[maxn];
bool check(int now){
	int l=now-1,r=now+1;
	while(r<=n){
		if(a[l]!=a[r])return 0;
		l--;r++;
		if(l==0)now=r-1,l=now-1;
	}
	return 1;
}
int main(){
	int T=read();
	while(T--){
		memset(path,0,sizeof(path));
		int tot=0;
		scanf(" %s ",a+1);
		n=strlen(a+1);
		for(int i=n;i>(n+1)/2;i--){
			int flag=0;
			for(int d=2,l,r;d<=n-i+1,(l=i-d+1)>=1,(r=i+d-1)<=n;d++){
				if(a[l]!=a[r]){flag=1;break;}
			}
			if(flag==0)path[++tot]=i;
		}
		for(int i=(n+1)/2;i>=1;i--){
			if(check(i))path[++tot]=i;
		}
		for(int i=tot;i>=1;i--){if(path[i]!=path[i+1])printf("%d ",path[i]);}
		puts(" ");
	}
	return 0;
}

2.Manacher(\(100pts\))

有这么方便的回文串算法,为何不用呢

同样,对于后一半,直接检查当前回文中心的回文串是否能扩展到串尾,反之就跳跃

时间效率:\(O(n)\)

然而,暑期集训day22考试整理_第4张图片

拒绝冷门(阴间)算法,从我做起

3.哈希(\(100pts\))

啊哈,正常的字符串题都能用哈希,这题检查是否是回文串,直接正着搞一遍哈希,倒着搞一遍哈希,最后判断就行了。记得注意倒着的哈希与正着的哈希搞字符串的时候也是倒着的

代码:



/*
3
aabbab
ababab
aaaaaaaaaaaaaa
*/
#include
#include
#include
#include
#define ull unsigned long long
using namespace std;
const int maxn=1e6+5,INF=0x3f3f3f3f,base=233;
inline int read(){
	int s=0,w=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9')s=s*10+ch-'0',ch=getchar();
	return s*w;
}
ull h[maxn],g[maxn],poww[maxn],powx[maxn];
int n,path[maxn];
char a[maxn];
bool check(int now){
	if(now==1)return 0;
	if(now>(n+1)/2)return g[now]==h[now]-h[2*now-n-1]*poww[n-now+1];
	else if(h[now]==g[now]-g[now*2]*poww[now])return check(now*2-1);
	return 0;
}
int main(){
	int T=read();
	while(T--){
		memset(h,0,sizeof(h));
		memset(g,0,sizeof(g));
		scanf(" %s ",a+1);
		n=strlen(a+1);
		if(n==1){puts("1");continue;}
		poww[0]=powx[n+1]=1;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			h[i]=h[i-1]*base+a[i];
			poww[i]=poww[i-1]*base;
			
		}
		for(int i=n;i>=1;i--){
			g[i]=g[i+1]*base+a[i];
			powx[i]=powx[i+1]*base;
		}
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(check(i))printf("%d ",i);
		}
		puts(" ");
	}
	return 0;
}

T3:饼干

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题目大意:有\(n\)个饼干,一共\(3\)种,质量分别为\(a\) \(b\) \(a+b\),每块饼干可以放进\(n\)个盒子里,让你求出所有和为\(k\)的排列情况

1.暴力(\(50pts\)

一共三种饼干,枚举就完事了。

简单的组合数学知识写出暴力的柿子

柿子:

\[ans=\sum _{i=1}\sum _{j=1}\sum _{p=1} C_n^{i+j+p}/(A_i^i\times A_j^j\times A_p^p) \]

代码:



/*
4 1 2 5
*/
#include
#include
#include
#include
#define int long long 
using namespace std;
const int maxn=1e5+5,INF=0x3f3f3f3f,mol=998244353;
inline int read(){
	int s=0,w=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9')s=s*10+ch-'0',ch=getchar();
	return s*w;
}
int n,a,b,k,c[maxn],f[maxn],g[maxn],ans;
int qpow(int a,int x){
	int now=1;
	while(x){
		if(x&1)now=now*a%mol;
		a=a*a%mol;
		x>>=1;
	}
	return now;
}
void Init(){
	c[0]=1;
	for(int i=1;i<=n+5;i++)c[i]=c[i-1]*i%mol;
}
inline int CC(int nn,int mm){
	if(mm==0)return 1;
	return c[nn]*qpow(c[mm],mol-2)%mol*qpow(c[nn-mm],mol-2)%mol;
}
signed main(){
	n=read();a=read();b=read();k=read();
	Init();
	int cnt,sum;
	for(register int i=0;i<=n&&i*a<=k;i++){
		for(register int j=0;(j+i)<=n&&(j*b+i*a)<=k;j++){
			for(register int p=0;(p+i+j)<=n&&((a+b)*p+i*a+j*b)<=k;p++){
				if(i*a+j*b+p*(a+b)==k){
					sum=CC(n,i+j+p)*c[i+j+p]%mol*qpow(c[i],mol-2)%mol*qpow(c[j],mol-2)%mol*qpow(c[p],mol-2)%mol;
					ans=(ans+sum)%mol;
				}
			}
		}
	}
	cout<

2.推柿子2代(\(100pts\))

由于第三个饼干重量是\(a+b\),所以可以直接从1到n枚举前两块饼干,前两块饼干的重合部分,就是第三块饼干

柿子:

\[\sum_{i=1}^n C_n^i \times C_n^{k-i*a}/b \]

(\((k-i*a)%b==0\),即剩下的重量必须整好放下第二块饼干)

但是,这破题细节特别多,很难想象考试时竟然有人A了(gyzNB)

细节1:\(min(a,b)==0\)并且\(k!=0\)

柿子:$$C_n^{k/max(a,b)}\times 2^k$$

\(k/max(a,b)\)个饼干放进\(n\)个盒子,方案数为\(C_n^{k/max(a,b)}\)

由于其中一个饼干质量为\(0\),所以对所有的盒子,都有放与不放质量为\(0\)的饼干的两种选择

细节2:不写了,看代码,不会就用暴力辅助程序盯出来

代码

#include
#include
#include
#include
#define int long long 
using namespace std;
const int maxn=1e7+5,INF=0x3f3f3f3f,mol=998244353;
inline int read(){
	int s=0,w=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9')s=s*10+ch-'0',ch=getchar();
	return s*w;
}
int n,a,b,k,c[maxn],f[maxn],g[maxn],ans;
int qpow(int a,int x){
	int now=1;
	while(x){
		if(x&1)now=now*a%mol;
		a=a*a%mol;
		x>>=1;
	}
	return now;
}
void Init(){
	c[0]=1;
	for(int i=1;inn)return 0;
	return c[nn]*qpow(c[mm],mol-2)%mol*qpow(c[nn-mm],mol-2)%mol;
}
signed main(){
	n=read();a=read();b=read();k=read();
	Init();
	if(a==0&&b==0&&k==0)return cout<

T4:空间宝石

爬,懒,不会,咕咕咕

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