bzoj1096: [ZJOI2007]仓库建设 （斜率优化dp）

Problem

先有一些工厂，每个工厂有一些成品。先要在其中一些工厂的位置建立仓库，建立仓库会有一定的费用。每个没设立仓库的地方将成品运送至下面的仓库，费用为成品数乘距离。山脚一定有一个仓库。问最少需要的花费是多少
工厂 $i$ 距离工厂 $1$ 的距离 $x_i$（其中 $x_1=0$）;
工厂 $i$ 目前已有成品数量 $p_i$;
在工厂 $i$ 建立仓库的费用 $c_i$。

Solution

设 $f[i]$ 表示在 $i$ 处设立仓库的最小值。
$i$ 前一点 $j$ ，$j$ 向 $i$ 运输需要花费 $w=p[j]\ast (x[i]-x[j])=p[j]\ast x[i]-p[j]\ast x[j]$

$f[i]=min(f[j]+x[i]\cdot \sum _{k=j+1}^{i}p[k]-\sum _{k=j+1}^i(x[k]\cdot p[k]))+c[i]$

我们分别维护 $p[i]$ 、$x[i]\cdot p[i]$ 前缀和，记作 $sum1、sum2$

则 $f[i]=min(f[j]+x[i]\cdot (sum1[i]-sum1[j])-(sum2[i]-sum2[j]))+c_i$

$f[j]+sum2[j]=f[i]-x[i]\cdot (sum1[i]-sum1[j])+sum2[i]-c_i$

$f[j]+sum2[j]=x[i]\cdot sum1[j]+f[i]-x[i]\cdot sum1[i]+sum2[i]-c_i$

因此维护 $(sum1[j],f[j]+sum2[j])$

Code

#include 
#define ll long long
#define db double
#define N 1000010
int n,q[N];
ll sum1[N],sum2[N],f[N],x[N],p[N],c[N];
inline db X(int i){return sum1[i];}
inline db Y(int i){return f[i]+sum2[i];}
inline db slope(int i,int j){return (Y(j)-Y(i))/(X(j)-X(i));}
int main(){
    freopen("a.in","r",stdin);
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lld%lld%lld",&x[i],&p[i],&c[i]);
        sum1[i]=sum1[i-1]+p[i],sum2[i]=sum2[i-1]+p[i]*x[i];
    }
    int h=1,t=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        while(h<t && slope(q[h],q[h+1])<x[i]) h++;
        f[i]=f[q[h]]+x[i]*(sum1[i]-sum1[q[h]])-(sum2[i]-sum2[q[h]])+c[i];
        while(h<t && slope(q[t],q[t-1])>slope(q[t],i)) t--;
        q[++t]=i;
    }
    printf("%lld\n",f[n]);
    return 0;
}