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Mobius反演定理-BZOJ2154

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莫比乌斯定理（未完待续......）：

形式1：

形式2：

 

引理:

 

 

证明1：

      右边=带入左边等式，得              

　　　           

　　　　　　

　　　　　　

　　　　　　    又当且仅当 : ，即时，上式非

 　　　　　  

   所以，成立。

 bzoj2154

 

 

时间复杂度

 换元：令

 

/*

             

             

*/

此题的精髓就一个字，模 

 1 #include 
 2 #include 
 3 #include 
 4 #include 
 5 #include 
 6 #include 
 7 #include 
 8 #include 
 9 #include 
10 #include <set>
11 using namespace std;
12 #define file(x) freopen(x".in","r",stdin),freopen(x".out","w",stdout)
13 
14 const int mod=20101009,maxn=1e7+10;
15 int f[maxn],p[maxn],flag[maxn],cnt,S[maxn];
16 void init(int n,int m){
17   f[1]=1;
18   for(int i=2;i<=n;i++) {
19     if(!flag[i])p[++cnt]=i,f[i]=(1-i)%mod;
20     for(int j=1;j<=cnt && i*p[j]<=n;j++) {
21       flag[i*p[j]]=1;
22       if(i%p[j]==0){f[i*p[j]]=f[i]%mod;break;}
23       f[i*p[j]]=((long long)(f[i]%mod)*(f[p[j]]%mod))%mod;
24     }
25   }
26   for(int i=1;i<=m;i++)S[i]=((S[i]%mod)+((S[i-1]+i)%mod))%mod;
27 }
28 
29 int main(){
30   int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);if(n>m)swap(n,m);
31   init(n,m);
32   int ans=0;
33   for(int Q=1;Q<=n;Q++)
34     ans=(ans+(((Q%mod)*(long long)f[Q]*(((long long)S[n/Q]*S[m/Q])%mod))%mod)%mod)%mod;
35   printf("%d\n",(ans+mod)%mod);
36   return 0;
37 }

 

 

 

f(n)=∑d|nμ(d)F(nd)=∑d|nμ(d)∑k|ndf(k)=∑k|nf(k)∑d|nkμ(d)

 

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