CART后剪枝理解

转载https://blog.csdn.net/zhengzhenxian/article/details/79083643

最近也是要找工作，在看李航的《统计学方法》
在决策树部分基本都能明白（可能我明白的的是错的）
对于CART剪枝的细节不是很明白
看了这个博主写的CART决策树部分，觉得讲得不错，细节满满
有一点个人理解，写一写

首先输入：生成好的回归/分类树
它没有类似正则化的惩罚项，所以拟合的不错，我们可以把它想象成:没有人惩罚它之前，他都是最优的

T为任意子树，C(T)为预测误差，可以是平方误差也可以是基尼指数，|T|为子树T的叶子节点个数，注意是叶子节点，α 是参数，C(T)衡量训练数据的拟合程度，|T|衡量树的复杂度（即大小），α 权衡拟合程度与树的复杂度。

书上写的也很清楚，
α↑，对叶子多的树惩罚严重，叶子数↓，树就简单
考虑极端情况
α=0，这不就是生成好的，什么多余操作也没有的树嘛，肯定是叶子最多的
α=∞，就算只有1个结点，惩罚项也接近∞，更别说再加一个叶子节点了。所以最优就是1个结点。

和师弟讨论为什么要用α序列来制造子树序列，进而得到最优树呢？
书上讲的是，对于固定的α，一定存在使损失函数C_α(T)最小的子树。
但是这个情况只针对α为某个确定值时，一旦这α变大或者变小，或许存在另一个子树t使得损失函数C_α(t)≤C_α(T)，我们无法确定，所以必须遍历整个子树的结构才知道对应的子树是否是最优，那么怎么遍历整个树的子结构，那就是按照书上的序列来构造

从整体树T₀开始，对T₀的任意内部结点t，以t为单节点树的损失函数为
C_α(t) = C(t) + α
本来也是有|T|的，但是只有一个节点，|T|=1

以t为根节点的子树T_t的损失函数为
C_α(T_t) = C(T_t) + α|T_t|

当α=0或者足够小时，有不等式
C_α(T_t) < C_α(t)

这里可以理解成剪枝前，树属于那种拟合效果很好的结构，各叶子节点内的混乱度就会很低，那么C(T)就会小
剪枝后，该内部结点的所有叶子节点全部坍缩到这个内部结点t，也就是1个节点包含所有t内的样本，这时候分类的话，只能选数量最多的类当做这个t的输出，这时候的结点混乱程度变大，C(t)变大，因为这时候α足够小，惩罚系数还不够大。

渐渐α↑，肯定有相等的一天，我们假设此时是α₁，此时两种结构的损失函数一样大
但是单节点的 t 结构更简单，泛化能力更好，所以在相等时选择剪枝。

这时候我们发现，未剪枝的T₀所谓的最优时期只在α∈(0,α₁)，
这里为什么是从0开始，因为前面虽然写的对任意内部结点，但是实际上还是从深度最深的内部结点开始，从下热上，动态规划，减少多余计算。

我们假设T₀是完整树，T₁是从下而上第一次剪枝，以此类推
我们可以联想T_i只是在α∈(a,b)，a
也就是在

T_i在α_i ~ α_i+1内是最优的
α_i ~ α_i+1内随便取值，T_i是最优的

然后，这个树结构啊，一旦确定下来，那么他的C(T)就确定下来了，就是他的经验损失，我么你可以看做是一个常数，只是不同结构下这个常数的值不一样，叶子节点越多，这个常数越小，因为拟合的好，经验损失少，反之也是。

观察损失函数

我们把α当做自变量，C_α(T)当做因变量，看做y=ax+b
那么|T|就是x的系数，α就是x

图中的T_i代表的是子树。不是代表截距值。
随着剪枝的进行，经验损失越来越大，对于y=ax+b的截距b就越来越大
那么剪枝后，叶子节点越来越少，对应系数a也渐渐变小，直线的斜度越来越小，那么相交的点就是α_i的取值，在这一点，损失相等

至于为什么要从小到大计算。从下而上剪枝，我们举个例子α₄，假设我们从完整树开始，就要对随机的内部结点t₂进行剪枝，好的，我们计算了T₀和T₂的临界值，但是此时最优模型确在T₁上，因为此时，T₀相对于T₀是未剪枝的状态，结果未剪枝的损失更大，意思是说你要想越过一个最优状态，去直接剪枝到下下个最优状态，是不可能求得最优解的，中间会使得其他结点的损失升高，因为损失是全局的。

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这个博主写的好，我只是从另外的方面理解了下