约瑟夫环

力扣 https://leetcode-cn.com/problems/yuan-quan-zhong-zui-hou-sheng-xia-de-shu-zi-lcof/

class Solution {
public:

    int cc(int n,int m){
        if(n==1)
            return 0;
        return (m+cc(n-1,m))%n;
    }

    int lastRemaining(int n, int m) {
        return cc(n,m);
    }
};

以下内容出自力扣

我们有n个数，下标从0到n-1，然后从index=0开始数，每次数m个数，最后看能剩下谁。我们假设能剩下的数的**下标**为y，则我们把这件事表示为

f(n,m) = y

这个y到底表示了啥呢？注意，y是下标，所以就意味着你从index=0开始数，数y+1个数，然后就停，停谁身上谁就是结果。

行了，我们假设f(n-1,m)=x，然后来找一找f(n,m)和f(n-1,m)到底啥关系。

f(n-1,m)=x意味着啥呢？意味着有n-1个数的时候从index=0开始数，数x+1个数你就找到这结果了。那我不从index=0开始数呢？比如我从index=i开始数？那很简单，你把上面的答案也往后挪i下，就得到答案了。当然了，你要是挪到末尾了你就取个余，从头接着挪。

于是我们来思考f(n,m)时考虑以下两件事：

1. 有n个数的时候，要划掉一个数，然后就剩n-1个数了呗，那划掉的这个数，**下标**是多少？
2. 划完了这个数，往后数，数x+1个数，停在谁身上谁就是我们的答案。当然了，数的过程中你得取余

**问题一**：有n个数的时候，划掉了谁？**下标**是多少？

因为要从0数m个数，那最后肯定落到了下标为m-1的数身上了，但这个下标可能超过我们有的最大下标（n-1）了。所以攒满n个就归零接着数，逢n归零，所以要模n。

所以有n个数的时候，我们划掉了下标为(m-1)%n的数字。

**问题二**：我们划完了这个数，往后数x+1下，能落到谁身上呢，它的下标是几？

你往后数x+1，它下标肯定变成了(m-1)%n +x+1，和第一步的想法一样，你肯定还是得取模，所以答案为[(m-1)%n+x+1]%n，则

f(n,m)=[(m-1)%n+x+1]%n

其中x=f(n-1,m)

我们化简它！

定理一：两个正整数a，b的和，模另外一个数c，就等于它俩分别模c，模完之后加起来再模。

(a+b)%c=((a%c)+(b%c))%c

定理二：一个正整数a，模c，模一遍和模两遍是一样的。

a%c=(a%c)%c

你稍微一琢磨就觉得，嗯，说得对。

所以

f(n,m)=[(m-1)%n+x+1]%n=(m-1)%n%n+(x+1)%n=(m-1)%n+(x+1)%n=(m-1+x+1)%n=(m+x)%n