三维点云处理技术三：三维空间变换

来源： 睿慕课《三维点云处理技术和深度学习在三维点云处理中的应用》

刚体运动变换

表示旋转变换的参数形式：旋转矩阵，轴角，欧拉角和四元数。

旋转矩阵推导与性质

两个坐标系a和b,坐标系b各个坐标轴$b_1、b_2、b_3$在坐标系a中的表示为：
$b_1=R_{11}{a}_1+R_{21}{a}_2+R_{31}{a}_3$
$b_2=R_{12}{a}_1+R_{22}{a}_2+R_{32}{a}_3$
$b_3=R_{13}{a}_1+R_{23}{a}_2+R_{33}{a}_3$
旋转矩阵$R_B^A$
$R_B^A=[b_1,b_2,b_3]=\left[\begin{array}{ccc}{R}_{11}& R_{12}& R_{13}\\ R_{21}& R_{22}& R_{23}\\ R_{31}& R_{32}& R_{33}\end{array}\right]$
同一点P，在b坐标系下的表示为$P_B(P_{b1},P_{b2},P_{b3}{)}^T$,在a系下的表示为$P_A(P_{a1},P_{a2},P_{a3}{)}^T$,根据坐标的定义有：
$P_A=P_{b1}{b}_1+P_{b2}{b}_2+P_{b3}{b}_3=R_B^A{P}_B$
总结： $旋转矩阵R_B^A每一列代表B坐标系的坐标轴在A系中的表示，也表示B坐标系在A系中的旋转，同时该旋转矩阵能将B系的坐标点转换到A系$
旋转矩阵的性质：
1,正交性
2,乘法封闭
3,旋转矩阵的逆也是旋转矩阵
4,$R{R}^T=I$

坐标系旋转

1，绕z轴旋转$\psi$角:
$R_{z,\psi }=\left[\begin{array}{ccc}\cos (\psi )& -\sin (\psi )& 0\\ \sin (\psi )& \cos (\psi )& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

$R_{z,\psi }$ 可以将变换后坐标系(图中蓝色)中的点转换到原来坐标系(图中红色)中。
2，绕y轴旋转$\theta$角：
$R_{y,\theta }=\left[\begin{array}{ccc}\cos (\theta )& 0& \sin (\theta )\\ 0& 1& 0\\ -\sin (\theta )& 0& \cos (\theta )\end{array}\right]$

3，绕x旋转$\varphi$角度
$R_{x,\varphi }=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos (\varphi )& -\sin (\varphi )\\ 0& \sin (\varphi )& \cos (\theta )\end{array}\right]$

4，符合旋转：右乘联体左乘基(联体是指旋转后的坐标系，基是指开始时候的固定坐标系)

5，向量旋转：

总结：旋转矩阵可以表示将A系中的向量、点旋转到新的位置，也可以表示从A系到B系的旋转，还可以将B系的坐标点转换到A系下。
6，齐次变换：
$P_A=R_B^A{P}_B+O_B^A$
齐次形式$\left[\begin{array}{c}{P}_A\\ 1\end{array}\right]=T_B^A{P}_B=\left[\begin{array}{cc}{R}_B^A& O_B^A\\ 0& 1\end{array}\right]$

欧拉角

欧拉角：任何旋转都可以用3个线性无关轴的连续旋转来描述。

欧拉角存在的奇异值-万向节死锁

旋转矩阵的轴角

可以将任何一个旋转视为绕某一旋转轴旋转一定的角度

四元数

为了避免万向节死锁问题，工程师发明了四元数来表示旋转
四元数定义：$q=[a,b,c,d]=[\cos \frac{\theta }{2},r\sin \frac{\theta }{2}]$,a为实部，b,c,d为虚部。
$r、\theta$分别表示旋转轴和旋转角度
共轭：$\bar{q}=[\cos \frac{\theta }{2},-r\sin \frac{\theta }{2}]$
模：$||q||=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}=1$
逆：$q^{-1}=\frac{\bar{q}}{||q||}$
乘法：

用四元数对向量进行旋转：
$p=[x,y,z{]}^T,p_a=[0,x,y,z{]}^T$
$p^{{}^{\prime }}=Rp=q\ast p_a\ast q^{-1}$
四元数与旋转矩阵：

刚体运动变换总结：

空间几何变换

消失点
二维空间几何变换：

三维空间几何变换：