【JZOJ5097】【GDOI2017 day1】取石子游戏

Description

经过了与中山大学学生处软磨硬泡之后，凡喵、叶妹、yzx 和图图终于成为了舍友。如果你不想和题面软摩硬 泡的话，请直接跳到加粗的部分开始读。
这道题目来源于宿舍中发生的一件小事。为了简明扼要地把这道题叙述清楚，对这个故事的内容进行了极大 的简化。如果想看这个题目的完整版本，凡喵很愿意提供给大家。详见随题目下发的文件。
这天叶妹去改 (san) 题 (guo) 目 (sha) 了，图图和凡喵觉得无聊，于是他们在一起玩取石子游戏（NIM）：
“哼！都怪你！也不哄哄人家 QAQ。人家都输了 2147483647 局了。qwq 人家超想哭的，捶你胸口，大坏蛋！！！”。
“别介样，你看，我来教你玩嘛。”
说着，图图掏出了他的宝贝——一本厚厚的博弈论书。
凡喵一把夺过了图图的书，翻了两页没看懂，生气地把书一摔：“哼！什么鬼！那么长人家才不要看”
其实凡喵一直不喜欢博弈论，尤其是那种“双方采用最优策略”这种奇怪的假设。要是对面是个智障，这游戏 不就没法玩了么？而且在现实生活中，这种情况还常常发生。
凡喵更喜欢的，还是象棋这种对弈游戏。尤其是他最近看些 deep reinforcement learning 的东西（一种机器学 习技术）之后，越来越觉得这种常规博弈没有什么意思。于是他建议，在象棋棋盘上玩一局取石子游戏。
图图汗颜并拒绝了他，然后继续讲解 NIM 的策略。“你看，这要这里异或一下，然后取 mex，就能知道一开 始取几个啦 ，是不是很强，很厉害呀。”
“取 max？我刚刚就是取的 max 啊！”
“笨猫！不是 max，是 mex 啦！”
“mex 是什么呀？”凡喵觉得自己太菜，哇的一声哭了出来。
“在这里，mex 是定义在集合上的函数，mex(S) 表示 S 这个集合中，最小的非负整数喔。”
“哦，我理解了，好神奇呀。”
现在，图图想让你和凡喵一起玩一局取石子游戏以检验凡喵是否真正理解。游戏的规则是这样的：有 n 堆石 子，每堆石子有 ai 个石头，你和凡喵轮流去石子，可以一次在一堆石子中一次取任意多个，或者在非空的几堆石 子中每堆同时取任意多个石子，凡喵先手，请问你能获胜么？
然而，凡喵懒，并不想和你玩。
图图无奈，只得说：“为了检验你是否真的理解了，现在来考考你 balabalabala……”
由于太菜没听懂，凡喵睡着了。现在他的脑子晕晕的，只记得一些模糊的词句在脑海中回旋。由于考他的人是 图图，所以这好像是个图论题。但是出什么题跟他叫什么名字有关系么？给你们出小学生数学题的人是小学生么？ 真是的，这神一般的逻辑也是没谁了。但是凡喵不管什么逻辑不逻辑，他说啥就是啥。
图论是什么？这好像是计算机科学专业的一门选修课。然而凡喵并不是学计科的，所以他没有上这门课。唉， 为了不在室友面前太丢人，不爱看书的凡喵只能捧起买了没读的图论课本开始学习。
一个图 G 可以表示为一个二元组 G = (V, E)，其中 V 是一个集合，成为“点集”，V 中的元素称为“点”， E 是另外一个集合，其中的元素是点的二元组。显然，E ⊆ V × V ，其中 V × V 代表 V 与 V 的笛卡尔积, 即 V × V = {(u, v) : u, v ∈ V }。E 被称为“边集”。如果 (u, v) ∈ E，则称 u 向 v 连了一条边。
显然，E 定义了一种集合 V 上的关系 R。如果这种关系满足对称性，换句话说，如果若 (u, v) ∈ E 则必然有 (v, u) ∈ E 的话，我们称图 G 为一个无向图。无向图以外的图称为有向图。V 中元素的个数称为点数。对于有向图，E 中元素的个数称为边数。对于无向图，边数定义为 E 中元素数的一半。
当然，我们考虑的集合 E 中不含有重复的元素，我们称这种性质为“无重边”。如果，∀v ∈ V,(v, v) /∈ E，我 们称图 G 中没有“自环”。一个无重边没自环的图称为简单图。以下我们说的所有图，均是简单图。
考虑一个有向图，向其边集中添加尽可能少的元素，使其构成一个无向图。称得到的无向图称为这个有向图的 基图。
考虑一个简单无向图 G0 = (V0, E0)，如果 ∀v ∈ V0, ∃u ∈ V0, 使得(u, v) ∈ E0，则称 G0 为连通图。特别地，如 果删除 E0 中任何一对元素 (u, v)和(v, u) 会使 G0 变成一个非连通图的话，称 G0 为一棵树。
如果一个有向图的边数与它的基图相等，且它的基图为一棵树的话，称这个有向图为树形图。
对于一个树形图，如果除去一个节点 root 外，剩下的节点中有且仅有一个点有连向它的边，则称这个树形图 为一个有根树。root 称为这棵树的树根。每个节点称为连向它的节点的“儿子”，连向它的节点称为它的“父亲”。 特别地，根节点没有父亲。
那么如果删除一棵有根树中某个点 v 与它父亲之间的那条边 (v <>root)，就会得到两个联通子图。其中包含 v 的那个子图称为 v 的子树。特别地，定义整个图为 root 的子树。
看到这，凡喵终于看不下去了。摔……毕竟，这些内容对曾经打过 NOI 的他一点用途都没有。
那么问题来了，挖掘机技术……
凡喵终于回忆起图图的问题：
“如果给你一棵有根树，树根为 1，并且树的每个结点上有一个权值……”。
联想力无比强大的凡喵突然惊醒：诶？有根树？点上有权值？难道是……二叉查找树？平衡树？动态树？作为 一个十分钟盲打 LCT 一遍过的无脑数据结构选手，他一下子激动起来。
这时候 yzx 推门走了进来。热爱学习的他看到凡喵在想题，立刻上来追问凡喵在想什么。凡喵告诉他，是一 个动态树上的取石子游戏，每个节点上有若干个石子，然后开始从某个子树……
yzx 觉得他在扯淡。于是他跑去问图图。才知道了题目本来的面目（如果让凡喵继续把脑洞开下去，可能要再 有两页纸才能把这题描述清楚）。一言以蔽之：
“现在我想知道每个点，除它所在子树以外的结点权值集合的 mex，怎么做呢？”
yzx 听罢，这不是个水题么？然后留下凡喵在风中凌乱
凡喵思考了片刻，居然不！会！做！他正打算再一次因为自己太菜而哇的一声哭出来的时候，突然想起来今 年二月份的时候，他曾经和他的好战友小 k 一同破译过一段密码，那段密码利用了整体二分套可持久化的平衡树。 他意识到，这两个问题的解决方法有异曲同工之妙——暴力出奇迹，不走寻常路！。
“这个很简单呀，只要给叶妹打个电话就知道了。”然后凡喵就给叶妹打了电话，把图图的题目完整地讲了一遍
叶妹接到电话之后，听了凡喵描述的题目，说了一句“容我三思”，接下来一秒，叶妹又说了一句“看我的厉 害！”于是乎，叶妹只用了两秒钟便搞定了这道题。
现在凡喵想要考考你，如何解决这道叶妹花了两秒就想出来的题呢？

Data Constraint

数据范围
对于 20% 的数据：N ≤ 500, T ≤ 20 另外
50% 的数据：N ≤ 100000, T ≤ 5 最后
30% 的数据：N ≤ 1000000, T ≤ 1

Solution

这道题不难，难就难在题目理解大意……
题目是给你一棵树，问你当前除以i为根的子树外的其他点中未出现的第一个非负整数是什么。
我们可以考虑一个值x会成为某个点的答案，当且仅当该点在根到所有值为x的点的lca的路径上。那么我们只要把值相同的点求一下lca，把值从小到大暴力赋值，遇到赋值的就退出就好。

Code

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn=1e6+5;
int a[maxn],first[maxn*2],last[maxn*2],next[maxn*2],deep[maxn],f[maxn][20],b[maxn],d[maxn],v[maxn];
int n,m,i,t,j,k,l,x,y,z,te,num,ln;
char ch;
int dg(){
    ch=getchar();int x=0;
    while (ch>=48 && ch<=57) x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x;   
}
void lian(int x,int y){
    last[++num]=y;next[num]=first[x];first[x]=num;
}
void bfs(){
    int i=0,j=1,x,t;v[1]=deep[1]=1;
    while (ifor (t=first[x];t;t=next[t])
            f[last[t]][0]=x,v[++j]=last[t],deep[v[j]]=deep[x]+1;
    }
}
void write(int x){
    if (x>=10) write(x/10);
    ch=x%10+48;putchar(ch);
}
int lca(int x,int y){
    int i,j,k;
    if (deep[x]for (k=ln;k>=0;k--)
        if (deep[f[x][k]]>=deep[y]) x=f[x][k];
    if (x==y) return x;
    for (k=ln;k>=0;k--)
        if (f[x][k]!=f[y][k]) x=f[x][k],y=f[y][k];
    return f[x][0];
}
int main(){
    freopen("game.in","r",stdin);freopen("game.out","w",stdout);
    scanf("%d",&te);
    while (te){te--;
        scanf("%d%d\n",&n,&m);num=0;
        memset(first,0,sizeof(first));
        for (i=1;i<=n;i++)a[i]=dg();
        for (i=1;iscanf("\n");
            x=dg(),y=dg(),lian(x,y);
        }
        num=0;bfs();ln=log(n)/log(2);
        for (j=1;j<=ln;j++)
            for (i=1;i<=n;i++)
                f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];
        memset(b,0,sizeof(b));memset(d,255,sizeof(d));
        for (i=1;i<=n;i++){
            if (!b[a[i]])b[a[i]]=i;
            else b[a[i]]=lca(b[a[i]],i);
        }
        for (i=0;i<=n;i++){
            if (!b[i]){
                for (j=1;j<=n;j++)
                    if (d[j]<0)d[j]=i;
                break;
            }
            x=b[i];
            while (x && d[x]<0) d[x]=i,x=f[x][0];
        }
        for (i=1;i<=n;i++)
            write(d[i]),ch=' ',putchar(ch);
        printf("\n");
    }
}