JZOJ 5923. 【NOIP2018模拟10.23】Bomb
题目
问n个点的图中，有多少张图的最大的连通块大小不超过k。
题解
计数。
从部分分里得到灵感，若k=n，则答案为n个点的连通图的张数。
容斥做不了？
我的想法是，全部的，去掉一个点不在连通块内的，加上两个点不在连通块内的……
这个方案是可行的，但是容斥系数配错了
该怎么容斥？显然，必须先选择计算i号点不在那个大连通块里面。
那么那个大连通块怎么表示？只能够强制1号点在里面。
剩余的n-1个点里面容斥。
但这样也不知道怎么做，只能请大佬去解答了。
做法1
考虑1号点连通块大小，则设f[i]为i个点的连通图的张数，g[i]表示i个点的图的个数。
显然， g [ i ] = 2 C ( i , 2 ) g[i]=2^{C(i,2)} g[i]=2C(i,2)
g [ i ] = Σ j = 1 i − 1 g [ i − j ] ∗ f [ j ] ∗ C ( i − 1 , j − 1 ) g[i]=Σ_{j=1}^{i-1} g[i-j]*f[j]*C(i-1,j-1) g[i]=Σj=1i−1g[i−j]∗f[j]∗C(i−1,j−1)
多项式求逆。
然后做个背包就好了，设 h [ k ] [ i ] h[k][i] h[k][i]表示大小为i的图，其最大连通块大小不超过k。
反思
①计数题必须多做，熟练。
②老套路，pq个点，总共q个连通块，每块p个点的图的张数。
连通块无序，连通块中，点无序。
固定一个点不动。
式子： a [ p q ] = f [ p ] q ∗ B a[pq]=f[p]^q*B a[pq]=f[p]q∗B
B = ( p q ) ! q ! ∗ ( p ! ) q B=\frac{(pq)!}{q!*(p!)^{q}} B=q!∗(p!)q(pq)!
递推式： a [ p q ] = a [ p ( q − 1 ) ] ∗ ( f [ p ] ∗ C p q − 1 p − 1 ) a[pq]=a[p(q-1)]*(f[p]*C_{pq-1}^{p-1}) a[pq]=a[p(q−1)]∗(f[p]∗Cpq−1p−1)
定性地分析，就是新的集合里的第一个数只能够填数 p q − p + 1 , . . . , p q pq-p+1,...,pq pq−p+1,...,pq，在剩余的 p q − 1 pq-1 pq−1个数里选出 p − 1 p-1 p−1个数来成为最后一个集合的元素。
定量地分析，将式子写出来：
( p q ) ! ( p q − p ) ! q ! ∗ ( p ! ) q ( q − 1 ) ! ∗ ( p ! ) q − 1 = ( p q − p + 1 ) ∗ . . . ∗ ( p q − 1 ) ( p q − p ) ! ( p − 1 ) ! \frac{\frac{(pq)!}{(pq-p)!}}{\frac{q!*(p!)^q}{(q-1)!*(p!)^{q-1}}}=\frac{(pq-p+1)*...*(pq-1)}{(pq-p)!(p-1)!} (q−1)!∗(p!)q−1q!∗(p!)q(pq−p)!(pq)!=(pq−p)!(p−1)!(pq−p+1)∗...∗(pq−1)
③容斥：如果要求无序的，那么将最后一个点强制选，其他的随便选。
更优秀的做法
时间复杂度: O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)
设 h [ k ] [ n ] h[k][n] h[k][n]表示n个点的图，有多少张的最大连通块大小 ≤ k \leq k ≤k。
答案为 h [ k ] [ n ] − h [ k − 1 ] [ n ] h[k][n]-h[k-1][n] h[k][n]−h[k−1][n]
h [ k ] [ n ] = ∑ i = 1 k f [ i ] ∗ C n − 1 i − 1 ∗ h [ n − i ] [ k ] h[k][n]=\sum_{i=1}^k f[i]*C_{n-1}^{i-1}*h[n-i][k] h[k][n]=i=1∑kf[i]∗Cn−1i−1∗h[n−i][k]
考虑1号点所在的连通块的大小。
小结
总而言之，需要考虑1号点的连通块大小。
代码
#include