【LGV不相交路径】JZOJ6775.【NOI2020.07.31模拟】path

Description

• 网格图中，有$n$个起点，第$i$个点为$(0,a_i)$，保证$a_i\le a_{i+1}$，求一种路径方案，使得$i$号点到$(i,0)$，且路径没有共用点的方案数，规定从$(x,y)$只能到$(x+1,y)$或$(x,y-1)$。
• 模998244353，$n\le 1e6$

Solution

• 这题是$LGV$的裸题。
• 首先考虑只有两个点的时候，那么方案数就应该是$A$到$A^{\prime }$，$B$到$B^{\prime }$方案数减去$A$到$B^{\prime }$，$B$到$A^{\prime }$方案数，因为这样子一定相交。
• 考虑扩展，那么这个容斥我们不妨考虑$A,B,C$与$A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$的对应关系，如果交换$A^{\prime },B^{\prime }$的对应就会乘上$-1$的容斥系数，同理再交换也会有$-1$的容斥系数，那么考虑最后的对应关系的排列$p$，应该就是$(-1{)}^{p逆序对个数}$。
• 这个实际上就是一个求行列式的过程。
• 问题转化为求$A_{i,j}=C_{a_i+j}^j$的行列式。将它写成下降幂的形式，即为$\frac{1}{j!}(a_i+1{)}^{\bar{j}}$，考虑$(a_i+1{)}^{\bar{j}}$是一个关于$a_i$的$j$次多项式，那么对于同一行$a_i$相同，从左往右可以消元。
• 具体来说，${\prod }_{k=0}^{j-1}(a_i+1+k)$，直接二项式展开即可得到关于$(a_i+1{)}^m$的许多项，由于前面得到了$(a_i+1{)}^m$，减一减就可以得到$A_{i,j}=(a_i+1{)}^j$
• 然后套用范德蒙德行列式即可得到：
  
• 后面的NTT优化一下，计算每一个$k=(a_j+1)-(a_i+1)$的出现次数，最后乘上$k^{cnt}$即可。由于单调性这个出现次数是$O(n)$的，所以不需要考虑对$998244352$取模，直接对$998244353$取模即可。

#include
#include
#include
#include
#define mo 998244353
#define maxn 2100000
#define ll long long 
using namespace std;

int n,i,j,k,a[maxn];
ll fct[maxn],ans;

ll ksm(ll x,ll y){
	ll s=1;
	for(;y;y/=2,x=x*x%mo) if (y&1)
		s=s*x%mo;
	return s;
}

void read(int &x){
	x=0; char ch=getchar();
	for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar());
	for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
}

int bt[maxn],lim,mx; ll A[maxn],B[maxn],C[maxn];
void dft(ll *a,int sig){
	for(int i=0;i<lim;i++) if (i<bt[i]) swap(a[i],a[bt[i]]);
	for(int mid=1;mid<lim;mid<<=1){
		ll gn=ksm(3,(mo-1)/(mid<<1));
		if (sig<0) gn=ksm(gn,mo-2);
		for(int j=0;j<lim;j+=mid<<1){
			ll g=1;
			for(int k=0;k<mid;k++,g=g*gn%mo){
				ll x=a[j+k],y=a[j+k+mid]*g;
				a[j+k]=(x+y)%mo;
				a[j+k+mid]=(x-y)%mo;
			}
		}
	}
	if (sig<0){
		ll inv=ksm(lim,mo-2);
		for(int i=0;i<lim;i++) a[i]=a[i]*inv%mo;
	}
}

int main(){
	freopen("ceshi.in","r",stdin);
//	freopen("path.in","r",stdin);
//	freopen("path.out","w",stdout);
	read(n),ans=1;
	for(i=1;i<=n;i++) read(a[i]),a[i]++,ans=ans*a[i]%mo,mx=max(mx,a[i]);
	fct[0]=1;for(i=1;i<=n;i++) fct[i]=fct[i-1]*i%mo;
	fct[n]=ksm(fct[n],mo-2);
	for(i=n-1;i>=1;i--) fct[i]=fct[i+1]*(i+1)%mo;
	for(i=1;i<=n;i++) ans=ans*fct[i]%mo;
	for(lim=1;lim<=mx*2;lim<<=1);
	for(i=1;i<lim;i++) bt[i]=(bt[i>>1]>>1)|((i&1)*(lim>>1));
	for(i=1;i<=n;i++) A[a[i]]++,B[mx-a[i]]++;
	dft(A,1),dft(B,1);
	for(i=0;i<lim;i++) A[i]=A[i]*B[i]%mo;
	dft(A,-1);
	for(i=mx+1;i<=mx+mx;i++) if (A[i])
		ans=ans*ksm(i-mx,(A[i]+mo)%mo)%mo;
	printf("%lld",ans);
}